Pythagore

l’article a baissé de 50 %. Affirmation 3 : ) Pour n’importe quel nombre entier n , ( ( ) est un multiple de 4. DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES 3EME 2013 - 2014 Page -4Exercice 6 On considère la figure ci-dessus. 1. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle DFE, calculer la longueur FE 2. Calculer alors la longueur d’un côté du losange ABCD 3. Calculer la longueur AC Exercice 7 1. Effectuer les calculs suivants et présenter les résultats sous forme d’une faction irréductible : ; 2

Notons I le pied de la médiane issue de A JJJG JJJG  2π a) FAUX OA ⋅ OB = OA × OB = cos   3   . Puisque le triangle est équilatéral, la médiane [AI] est aussi hauteur, donc  AB 2 − BI 2 = 22 − 12 = 3 , et ainsi OA = d’après le théorème de Pythagore, AI = 2 2 3 AI = 3 3 JJJG JJJG 2 3 2 3  1  2 On conclut donc que OA ⋅ OB = × ×−  = − 3 3  2 3 JJJG JJJG b) FAUX CA ⋅ OB = 0 car O étant le centre de gravité du triangle équilatéral, il est aussi centre du cercle circonscrit au triangle, donc

calcul d’une longueur se fait à l’aide de la formule AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) . 2 2 On a alors, après calcul, AB = AC = 90 et BC = 180 . > Comme AB = AC, le triangle est isocèle en A. > Comme AB² + AC² = BC², la réciproque du théorème de Pythagore assure que ABC est en plus rectangle en A. ABC est donc un triangle rectangle isocèle en A. 

la fraction est simplifiable par 18. 216126=12×187×18=127     Exercice 2 On peut représenter la situation de la façon suivante : où ABC est un triangle rectangle en C avec AB=20 et AC=12 Dans ce triangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore : AB2=AC2+BC2 Par conséquent : BC2BC=AB2−AC2=202–122=400–144=256=256−−−√=16 On en déduit donc que DB=20–12=4 Cela signifie donc que la lance est descendue de 4 pieds.   Exercice 3 1. FAUX Seuls les triangles inscrits dans un cercle dont

propriété de Pythagore dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = - = et OI = . L’angle (,) a un cosinus égal à , c’est bien un angle de . La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle. Pentagramme mystique Dans la figure de droite, les points A', C', E', B', D', nommés dans cet ordre sont les sommets d'un polygone régulier étoilé appelé pentagramme. Ce pentagramme de Pythagore était le sceau

points de $ distincts de A. – Soit C et N deux points de $’ distincts de A. – Les points A, B et M sont dans le même ordre que les points A, C et N. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors : AM AN MN = = . AB AC BC 16. Théorème de Pythagore Théorème direct Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC2  AB2  AC2. Théorème réciproque Si un triangle ABC est tel que BC2  AB2  AC2, alors ce triangle est rectangle en A. C A B 17. Trigonométrie Cosinus, sinus, tangente

recommence avec t. Il ne reste plus qu'à lire la longueur r recherchée: t = 4,9 , soit une force d'intensité 490 N pour F BC. On peut vérifier dans le menu Principale qu'on a bien des résultats précis: triangle rectangle isocèle, théorème de Pythagore… On pourra résoudre de la sorte tout exercice de statique à 3 forces en modifiant les données quand la figure est complète: on décoche longueur ou angle, on modifie sa valeur et on coche pour imposer la nouvelle valeur. On peut télécharger le logiciel

de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées de u = (1, 2, −1, −2) dans cette base . Décomposer u en la somme d'un élément de E et d'un élément de E ⊥ . Vérier le théorème de Pythagore . 2 Exercice 4 Dans R , on considère les vecteurs u1 = (1, 2, −1, −2), u2 = (2, 3, 0, −1), u3 = (5, −2, −5, −2) et u4 = (8, 10, −10, 4)· Montrer qu'ils forment une base de R4 . En utilisant l'algorithme de Gram-Schmidt , donner une base

milieu de [AC] revient à montrer que : Or AG + CG = 0 . AG + CG = AG1 + G1G + CG2 + G2G = 1 1 AB + CD + G1G + G2G = 0 4 4 AB = −CD et G milieu de [G1G2]. Car b) Comme ABCD carré de côté a alors ABC rectangle isocèle en B d’où (Théorème de Pythagore) : AC = AB ² + BC ² = a 2 . Or comme G milieu de [AC] alors il est aussi le milieu de [CD] qui sont de même longueur car ABCD carré. Finalement, GA = GB = GC = GD = a 2 . 2 4/ a) A(0 ; a), B(a ; a), C(a ; 0), D(0 ; 0) et G(a/2 ; a/2) car

les carrés des longueurs des trois cotés et on trouve que MN 2  26 , NP2  40 et MP2  74. Et comme MP2  NP2  MN 2 , alors la contraposée du théorème de Pythagore permet de dire que le triangle MNP n’est pas rectangle contrairement à ce que la figure pouvait laisser suggérer. Exercice n° 8 a) D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en B. b) K   2;0  . c) D   3; 3 d) Dans le quadrilatère ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu K