Sinus hyperbolique

périodique. cos est définie sur R et 2π ￿ périodique. ￿ sin x tan x = cos x Dtan = R \ π + kπ; k ∈ Z 2 1.1. GÉNÉRALITÉS Exemples 1.1.8. Fonctions hyperboliques R → R La fonction sh : est appelée sinus hyperbolique. x −x x ￿→ e −e 2 R → R La fonction ch : est appelée cosinus hyperbolique. x −x x ￿→ e +e 2 R → R La fonction th : est appelée tangente hyperbolique. x ￿→ shx chx On a : ∀x ∈ R, ch2 x − sh2 x = 1. 5 1.1.3 Fonctions périodiques, paires et impaires Définition 1.1.2. Soit f une fonction

g) (x) = f (x) + g (x) 2. (λf ) (x) = λf (x) 3. (f g) (x) = f (x)g (x) + f (x)g(x) 4. f g (x) = f (x)g(x) − f (x)g (x) . g 2 (x) Cette dernière égalité n’est valable que lorsque g(x) = 0. On rappelle la définition des fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique : shx = ex − e−x ex + e−x , chx = . 2 2 Sommaire Concepts Montrer en exercice les propriétés élémentaires de ces fonctions : 1. ch2 (x) − sh2 (x) = 1, Exemples Exercices Documents 6 précédent section suivant

43 4.2 Le logarithme naturel r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Les fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.4 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Calcul diff´ erentiel 5.1 Diff´erentiation 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 La d´eriv´ee d’une fonction r´eelle

est : e 3 T3 = Gabriel Cormier (UdeM) 2π = 6π ω3 GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2008 7 / 74 Signaux analogiques communs Signaux analogiques communs Fonction ´chelon e Fonction signe Impulsion Fonction rectangulaire Fonction triangulaire Sinus cardinal (sinc) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2008 8 / 74 Signaux analogiques communs ´ Echelon u(t) Fonction ´chelon u(t) e 1 Amplitude 0 0 Temps u(t) = ` A t = 0, on utilise u(0) = 0.5. Gabriel Cormier

Théorème de la bijection 67 Conséquence sur le théorème des valeurs intermédiaires 68 Quelques bijections : Fonctions circulaires inverses Arc sinus 69 Quelques bijections : Fonctions circulaires inverses Arc cosinus 70 Quelques bijections : Fonctions circulaires inverses Arc tangente 71 Représentations graphiques 72 Les fonctions arc sinus (en rouge) et arc cosinus (en bleu) La fonction arc tangente Quelques formules 73 

a 3.3.2 Fonctions puissance xα = eα ln x . . . . 3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires Fonctions circulaires . . . . . . . . . . Etude des fonctions hyperboliques . . Trigonom´trie . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.4 Fonctions circulaires r´ciproques . . . e Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Fonctions hyperboliques r´ciproques . e Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . Fonction

a 3.3.2 Fonctions puissance xα = eα ln x . . . . 3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires Fonctions circulaires . . . . . . . . . . Etude des fonctions hyperboliques . . Trigonom´trie . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.4 Fonctions circulaires r´ciproques . . . e Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Fonctions hyperboliques r´ciproques . e Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . Fonction

y = 0 (dans F(R,R)), en e e R → R d´duire que V = Vect(f0 ) avec f0 : e x → cos x − π 4 Exercice 4 1. (a) Rappeler le d´veloppement limit´ ` tout ordre de la fonction exponentielle en 0. e ea (b) Rappeler la d´finition de la fonction cosinus hyperbolique puis en donner le d´veloppement limit´ ` e e e a l’ordre 2n en 0 pour tout entier n. Pr´ciser en particulier le d´veloppement ` l’ordre 4. e e a 2. Soit f : R∗ → R d´finie par ∀x = 0, f (x) = (ch x)1/x . e (a) D´terminer le d´veloppement limit´

+(. b. Etudier les variations de f. c. Combien l’équation f(x) = 1 a-t-elle de solutions ? Exercice 4 (4.5 points). Montrer que pour tout réel x positif, ex−1 ≥ x. PARTIE DS Exercice 1 (8 points) On considère la fonction tangente hyperbolique, notée th, définie par [pic]. 1. Déterminer le domaine de définition I de th. 2. Montrer que pour tout x de I, on a [pic]. 2. Calculer th(x). Que pouvez-vous en déduire sur la courbe C représentant la fonction th ? 3a. Etudier la parité de

|Mathématiques |Correction du Devoir Commun n°4 |Troisième | Exercice n°1 : 1°) (x-3)(x+7)=x2+7x-3x-21=x2+4x-21 2°) (a+6)2=a2+12a+36 3°) (y-0,3)2=y2-0,6y+0,09 4°) (10b-7)(10b+7)=100b2-49 5°) (9+2a)-(9-2a)=9+2a-9+2a=4a Exercice n°2 : 1°) 7k-ky+k2=k(7-y+k) 2°) 9x2+30x+25=(3x+5)2 3°) (7a-5)(9a+2)-4(7a-5)= (7a-5)[(9a+2)-4]=(7a-5)(9a-2) 4°) (10y-7)2-16=(10y-7)2-42= [(10y-7)-4][(10y-7)+4]=(10y-11)(10y-3)