Suite de Cauchy

l’étude des suites et de leur limites, – l’étude des fonctions continues et des fonctions dérivables. Ces trois points sont liés et permettent de répondre à notre problème, car par exemple nous verrons en étudiant la fonction f (x) = x2 − 10 que la suite des rationnels (u n ) définie par u 0 = 3 et u n+1 = 12 u n + u10n tend très vite vers 10. Cela nous permettra de calculer des centaines de décimales de 10 et de certifier quelles sont exactes : 10 = 3, 1622776601683793319988935444327185337195551393252168

2) 4 81. 14 M. El Hatri Chapitre 4 Suites 4.1 Dé…nitions et propriétés Dé…nition 4.1.1 On appelle suite numérique, une application f : N ! R qui consiste à associer à tout nombre naturel n un nombre réel xn : n ! f (n) = xn . On note une suite (xn )n2N ou (xn ), et on écrit (xn )n2N : x1 ; x2 ; : : : ; xn ; : : : Le nombre xn est appelé terme général de la suite. Une suite peut être donnée à l’ aide de son terme général ou par la donnée de ses termes 1 1 1 Exemple 4.1.1 1) xn = , i.e

et sa valeur en un point, ou une suite et sa valeur pour un certain e a e entier. Ainsi, tout correcteur qui se respecte tique quand il lit : “Soit un la suite 1/n”, ce qui ne veut tout bonnement rien dire. Evidemment, tout le monde comprend de quoi parle notre candidat fictif. Mais les math´matiques, d´licates, ont leurs exigences. Aussi, il faut bien e e faire attention ` ne pas emmˆler les concepts. Ici, le candidat m´lange manifestement la notion a e e de suite avec la notion de scalaire, ce qui

pourrait aussi définir l’ensemble ω(x) de la manière suivante : ω(x) = {y ∈ Ω | ∃tn →∞ φtn(x)→ y} En d’autres termes ω(x) est l’ensemble des points adhérents à γ(x) au voisinage des temps infinis. C’est cet ensemble que l’on va étudier dans la suite, il est au centre du théorème de Poincaré-Bendixson. L’exemple le plus simple d’ensemble limite est

associée à une origine. Il est à noter qu'en aucun cas il n'est fait l'obligation d'une base orthonormée. Bien évidement, pour des questions de simplifications, nous essaierons toujours d'employer de telle base, mais nous pourrons aussi constater que suite aux déformations imposées à notre domaine, nous ne pourrons pas constamment conserver cette notion d'orthogonalité. Le mécanicien est ainsi tout naturellement guidé vers l'utilisation des notations tensorielles. A ce sujet, il est à noter que l'algèbre

décomposition unique en un produit de nombres premiers à l’ordre près des facteurs. 8 [1] Mathématiques 1.5 Polynômes et fractions rationnelles Support d’une suite – Définition d’un polynôme Pour toute suite ( an )n∈N de KN , on apelle support l’ensemble des n ∈ N tels que an = 0. On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients constants toute suite de KN à support fini. Polynôme à une indéterminée On note K [ X ] le corps des polynômes à une indéterminée X à valeurs dans K. Tout élément P de K [ X

la m´ thode des rectangles. Le e e e e th´ or` me pr´ cedent, nous affirme que l’erreur commise etait au plus de l’ordre e e e ´ 1 O( n ), si n est le nombre de termes somm´ s. Cette majoration de l’erreur n’est e 1 pas tr` s bonne car la suite n ne tend pas vers z´ ros rapidement lorsque n tend e e vers ∞. La m´ thode d’approximation pas les sommes de Riemann n’est donc pas e pleinement satisfaisante. Nous allons pr´ senter ici une m´ thode proche de la pr´ c´ dente, mais la convere

fonction caract´ristique ϕX (t) e e eit −1 it −t2 /2 Exemples de fonctions caract´ristiques pour des lois usuelles. e Distribution Binomiale B(n, p) Poisson Binomiale n´gative e Distribution Uniforme Normale centr´e r´duite e e Normale Gamma Cauchy Laplace densit´ e 1 [0,1] (x) I 2 (2π)−1/2 e−x /2 2 2 (2πσ 2 )−1/2 e−(x−µ) /(2σ) θ p −θx p−1 x Γ(p) e 1 π(x2 +1) 1 −|x| 2e 2 2 eiµt−σ t /2 p 1 1−θit −|t| e 1 1+t2 2.4.6 Lois compos´es e N Proposition I.3 Pour S= i=1 Yi

Fn ne sont pas n´cessairement suppos´es compl`tes e e e e . On sait que la famille d’ensembles n≥0 Fn n’est pas une tribu. On d´finit donc F∞ = σ( n≥0 Fn ). e F∞ est une tribu, en g´n´ral plus petite que F, laquelle jouera un rˆle important dans la suite. e e o ´ Definition 4.1. Un processus r´el adapt´ (Xn )n≥0 est appel´ une martingale (resp. une surmartine e e gale, une sous-martingale) s’il est int´grable et si, pour tout n ∈ N), e I E(Xn+1 | Fn ) = Xn p.s. (resp. ≤, ≥). Donc (Xn )n≥0 est une

Alors g ◦ f est définie au voisinage de x0 et lim g( f (x)) = v . x→x0 • Image d'une suite convergente Soit f définie sur un intervalle I et a un point de I . f a pour limite l au point a si, et seulement si, pour toute suite (xn ) convergeant vers a, la suite f (xn ) converge vers l, finie ou non. Pour démontrer qu'une fonction f n'a pas de limite lorsque x tend vers a, il suffit de fournir un exemple de suite (xn ) qui tende vers a et telle que f (xn ) soit divergente. 2.4 Cas des fonctions