Suite de Cauchy

donc naturel de le pr´senter dans ce pr´ambule, et de donner e e sa d´monstration la plus classique, telle qu’elle est enseign´e dans les cours e e d’analyse fonctionnelle. Rappellons tout d’abord qu’un espace m´trique X est complet si toute e suite de Cauchy dans X converge. Et donnons la d´finition suivante. e D´finition. Soit S ⊂ X. la partie S est dense si adhS = X. e Baire a 30 ans, en 1904, lorsqu’il est invit´ ` donner cours pendant 6 mois ea au coll`ge de France. Dans ce cours, on trouve plusieurs

6x2 0 sur [1, 2]. Donc, d’apr`s le th´or`me e e e de la valeur interm´diaire, il existe une seule solution α ∈ [1, 2] telle que F (α) = 0. e (a) Etudions la convergence de la suite xn+1 = g1 (xn ) = 2x3 − 2. Tout d’abord, cette suite, si elle converge, conduit n bien ` une racine de F (x) = 0 car si α est la limite de la suite (xn ), alors a α = 2α3 − 2 donc F (α) = 2α3 − α − 2 Par ailleurs, g1 (x) = 6x2 6 sur [1, 2]. Par cons´quent, grˆce au th´or`me des accroissements finis, il existe ξn e a e

la suite (un )n 1 définie par 1, un+1 = (un )un u1 = 2 et ∀n Exercice 15 Mines-Ponts MP [ 02843 ] [correction] Soit α ∈ R. Quel est le rayon de convergence de n 1 Démontrer que pour tout entier n cos(nα) n x n 1 1 (n + 1)n ? un un+1 Exercice 16 Mines-Ponts MP [ 02846 ] [correction] n! Soit, pour n ∈ N, an = 1×3×···×(2n+1) . Rayon de convergence et somme de la série +∞ entière n=0 an xn . En déduire que la série de terme général 1/un converge. Dans la suite, on

. . . . . . Caract´risation des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2 Suites de nombres 2.1 Premi`res notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 Qu’est-ce qu’une suite de nombres ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites major´es, minor´es ou born´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e Suites d´finies par r´currence . .

par pas de -1 faire Pour j de i-1 à 1 par pas de -1 faire x j := x j − li , j xi ; Esnard Aurélien Algorithmique Numérique Systèmes linéaires Ax=b : méthodes itératives Principe Méthode itératives classiques : On cherche à obtenir une suite de vecteur En posant A = M − N où M est une matrice inversible, on propose la formule de récurrence ( X n )n convergeante vers X telle que AX = b . MX n +1 = NX n + b ou encore X n +1 = M −1 NX n + M −1b . Si X est solution du problème, il vient

=− . ∂y ∂x (Conditions de Cauchy-Riemann). Remarques : – On note H(Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes sur Ω. – Si f, g ∈ H(Ω) alors f + g, f g, f /g (g = 0 sur Ω) sont holomorphes et de d´eriv´ees f + g , f g + f g , (f g − f g )/g 2 . – f (z) = az, a ∈ C I , est holomorphe sur C I et f (z) = a. n ∗ f (z) = z , n ∈ IN est holomorphe et f (z) = nz n−1 . si f ∈ H(Ω) alors f n (z) ∈ H(Ω) (n ∈ IN ) et sa d´eriv´ee est nf n−1 (z)f (z). On va s’int´eresser par la suite a` l’int´egration des fonctions

la fameuse chanson de Joe Dassin, que nous avons écoutée en boucle tant de fois dans ma voiture en chantant : « Souviens-toi, c’était un jeudi/Le grand jour/Le grand pas vers le grand amour. » Je prends l’initiative de lui donner rendez-vous rue Cauchy, à notre domicile. Nous y serons seuls pour parler librement. Il arrive à l’heure, ce n’est pas dans ses habitudes.Il a apporté le déjeuner préparé par l’Élysée, un caisson en fer-blanc avec des assiettes garnies, qu’il suffit ensuite de glisser

ferm´e ! e e Prenons pour contre-exemple un Hilbert H, muni d’une base hilbertienne (e n )n∈N . Soit K le compact d´fini par e en K= , n ∈ N ∪ {0}. n+1 Notons 6 vn = 2 π n i=0 ei 1 + e0 ∈ coK. (i + 1)3 i=n+1 (i + 1)2 ∞ ∞ La limite de cette suite existe et vaut v= 6 π2 ei . (i + 1)3 i=0 Ce vecteur v ne peut pas s’´crire comme combinaison convexe (finie) des ´l´ments de K, e ee donc v ∈ coK. 13 1.2.3 Vrai ou faux ? 1. C est convexe si et seulement si ∀x, y ∈ C, (x + y)/2 ∈

utiliserons un théorème fondamental du cours sur les équations aux dérivées partielles : le théorème de Lax-Milgram. Dans un cas que nous préciserons ultérieurement, nous pourrons borner une suite de 1 fonctions de rapport d'anisotropie croissant et donc par reexivité de H0 (Ω), nous pourrons exhiber une suite qui converge faiblement vers le problème limite. Dans un autre cas nous ne pourrons que conjecturer un résultat par un travail numérique. Résumé 2 Table des matières 1 Introduction

convergeant vers 0}, C = {suites convergentes}, D = suites admettant 0 pour valeur d adhérence et E = {suites périodiques}. 1 Topologie Ouverts et fermés Exercice 1 [ 01103 ] [correction] Montrer que tout fermé peut s’écrire comme intersection d’une suite décroissante d’ouverts. Exercice 2 [ 01104 ] [correction] On désigne par p1 et p2 les applications coordonnées de R2 définies par pi (x1 , x2 ) = xi . a) Soit O un ouvert de R2 , montrer que p1 (O) et p2 (O) sont des ouverts de R. b) Soit H = (x