Suite de Cauchy

(f (xn ))n∈N est born´e dans F pour toute suite (xn )n∈N de E tendant vers 0 dans E. e Montrer que f est continue Exercice 2 : Soit (E, ||.||E ) et (F, ||.||F )deux K-espaces vectoriels norm´s e soit u ∈ lC (E, F ) on pose |||u||| = sup ||u(x)||F ||x|| 1 Montrer que |||u||| = inf{k 0, ∀x ∈ E, ||u(x)|F k||x||E } Exercice 3 : Soit (E, ||.||E ) et (F, ||.||F )deux K-espaces vectoriels norm´s tel que F est complet e Soit (un ) une suite de cauchy dans lC (E, F ) muni de la norme |||.||||subordonn´e

13 I.4 L’approximation d’écoulement incompressible Définition : On dira qu’un écoulement se comporte comme celui d’un fluide incompressible si le volume δτ de chaque particule fluide ne varie pas au cours du mouvement. On obtient ainsi tout de suite : − div (→) = 0 v (3.6) Remarque : A priori cette relation impose seulement ρ = cst sur chaque trajectoire, mais pas forcément d’une trajectoire à l’autre. Toutefois, sans hypothèse supplémentaire, on considère en général l’adjectif incompressible

extension de l9intégr—le de ‚eim—nn — été développée indépend—mment p—r tor—sl—v uurzweil et ‚—lph rensto™k Y qui étendD en f—itD l9intégr—le de ve˜esgue et de ‚eim—nn utilis—nt simplement de petites v—ri—ntes des idées introduites p—r ‚iem—nn et p—r suite te™hniquement plus simple que ™elle introduite p—r ve˜esgueF 1.0.2 Calcul des surfaces g9ét—it une très gr—nde dé™ouverte que le ™—l™ul d9une surf—™e soit ™—l™ulé p—r l— donnée d9une primitiveF €our g—u™hyD il ét—it import—nt de sép—rer l—

des fonctions e e ee e d’une variable, les fonctions R → R. Rappelons quelques r´sultats impore tants de ce calcul. a) Le crit`re de Cauchy. e Une suite {xn }n∈N num´rique est convergente si et seulement si e n,m→+∞ lim |xn − xm | = 0. b) Le th´or`me de Bolzano-Weierstrass. e e Toute suite {xn }n∈N de points d’un intervalle compact [a, b] contient une suite partielle convergeant vers un point de cet intervalle. c) La propri´t´ des valeurs extrˆmes. ee e L’image d’un intervalle compact par

sont vérifiées : 1) Toute suite d’éléments de X a une valeur d’adhérence. 2) Pour tout recouvrement de X par des ouverts, il en existe un sous-recouvrement fini. (3) Soit f une application continue de X dans X. On dit que f est contractante s’il existe k ∈]0, 1[ tel que ∀x, y ∈ X, d(f(x), f(y) < kd(x, y). Le théorème du point fixe affirme que si X est complet, et f est contractante, alors f admet un unique point fixe x. De plus, quel que soit y ∈ X, la suite des fn(y) converge vers x. (4)

l'axiomatisation des structures algébriques Napoléon est nommé (par le Sénat) puis sacré empereur des Français par le pape Pie VII en 1804. Réforme de l'enseignement : Mise en place des Académies (1806). Après Waterloo (1815), la royauté revient av Cauchy publie sa théorie des fonctions d'une variable complexe et des résidus (1825). La révolution de 1830 voit l'arrivée au pouvoir du duc d'Orléans :  Louis-Philippe Ier. De 1850 à 1899  -  Le formalisme et la rigueur. Les fondements des mathématiques 

grand-chose n’est bon pour son image dans cette histoire. Et surtout pas cette photo de lui prise rue du Cirque avec son casque sur la tête. Cette fois, je résiste et déclare au médecin que je veux rester encore quelques jours. Où aller ? Rentrer rue Cauchy, chez moi, chez nous ? Je suis tellement shootée que je ne tiens pas debout, ma tension est descendue à 6. Un jour, elle est tellement basse qu’elle ne peut même plus être mesurée. Les médecins parlent de m’envoyer dans une clinique de repos. Mes

57 57 57 57 58 58 59 59 60 60 60 60 61 66 67 12 S´ries d’une variable (C[[z]]) e 12.1 Op´rations sur les s´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 12.2 Les deux produits : Convolution (produit de Cauchy) et produit de Hadamard 12.2.1 Produit de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 S´ries rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 12.2.3 S´ries rationnelles (rep´sentations lin´aires et aspect automatique) . e e e

C |u| 1 Ex. 12 — Soit Ω un domaine borné et régulier de Rd . On muni H01 (Ω) du produit scalaire << u, v >>1 =< ∇u, ∇v >. 1. Vérifier que H01 (Ω) muni de ce produit scalaire est un espace vectoriel préhilbertien normé. 2. Montrer que toute suite de Cauchy de H01 (Ω) est convergente dans H01 (Ω). En déduire que c’est un espace d’Hilbert. Ex. 13 — Traces,γ0 , H1 (Ω) : On considère les fonctions suivantes : u1 (x) = 2x2 + 3, sur Ω =] − 1, 2[, u2 (x) = tan(x), sur Ω =]0, Π2 [, u3 (x, y) = x2 + y 2

est incluse dans C (0 < r < r < |h| < R < R). On peut alors écrire la formule de Cauchy sur le lacet γ constitué du cercle Cr parcouru dans le sens direct, de la portion de rayon i [r , R ] joignant Cr et CR du cercle CR parcouru dans le sens indirect et de la même portion de rayon parcourue en sens inverse i [R , r ] (voir g 2). Ce lacet est homotope au point h dans C , on peut donc lui appliquer la formule de Cauchy (??) et il vient : g (h) = − 1 2iπ Cr g (z) 1 dz + z−h 2iπ CR