Suite de Cauchy

)0≤p≤n : p=n Pn (z) = p=0 ap z p La somme d’une série d’applications monômes, appelée série entière, a donc été naturellement considérée comme une application qui généralise la notion d’application polynôme, tout en étant déterminée par une suite infinie de coefficients, (ap )0≤p : p=+∞ ap z p p=0 1≤p≤n ceci sans tenir compte des difficultés liées au passage à la limite et qui ont fait l’objet des précédents cours. En effet, la somme d’une série entière vérifie seulement : p=+∞ p=n

Henry Philippe Benoni Omer Pétain était un homme militaire et politique français, il était maréchal de France entre 1918 et 1945. Il était l'une des figures les plus controversées de l'époque. Il était né le 24 avril 1856 a Cauchy-a-la-Tour dans le région de Pas-de-Calais. Il était naitre dans une famille de cultivateurs, le quatrième enfant de la famille. Il avait reçu une éducation catholique et Pétain était impressionné par les histoires de son grand-oncle, qui a servi dans la Grande Armée de

−∞. • Une suite {an } est dite croissante (resp. décroissante) si an+1 an pour tout n ∈ N (resp. an+1 an pour tout n ∈ N). La classe des suites monotones est formée des suites croissantes et des suites décroissantes. • Soit {an } et {bn } deux suites réelles (bn = 0 pour tout n). Si le quotient an /bn tend vers 0 (resp. reste borné) lorsque n tend vers +∞, on écrit alors an = o(bn ) (resp., an = O(bn )). • Un réel c est une valeur d’adhérence de la suite {an } s’il existe une sous-suite {ank } de

Exercices . . . . . . . . ´ 4 Equation de Feynman-Kac et convergence faible des sch´mas de discr´tisation e e 4.1 G´n´rateur infinit´simal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e ´ 4.2 Equation de Feynman-Kac, probl`mes de Cauchy et de Dirichlet. . . . . . . . . . e 4.3 Convergence faible du sch´ma d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 M´thode de Monte Carlo e

Int¶egration, Hermann, collection M¶ethodes, 1997. [6] Rudin, W. Real and complex analysis, McGraw-Hill, New-York, 1987. 2 Chapitre 1 Pr¶eliminaires et Rappels Dans tout ce chapitre X d¶esigne un ensemble quelconque. 1.1 La droite achev¶ee R Une suite r¶eelle n'a pas toujours de valeur d'adh¶erence. Ceci est du au fait que R; j:j n'est pas compact. En ajoutant deux ¶el¶ements µa R on peut en faire un espace compact. D¶e¯nition 1.1.1 On appelle droite achev¶ee l'espace topologique not¶e R obtenu

calculer la somme x + y + z . (x + y) + z donne : x + y = 8, 22317 0, 822 · 10 (x + y) + z 8, 22432 0, 822 · 10 x + (y + z) donne : y + z = 0, 00749 0, 749 · 10−2 x + (y + z) = 8, 22749 0, 823 · 10 L'addition est donc non associative par suite des erreurs d'arrondi. En générale, dans une sommations de réels, l'erreur a la tendance à être minimisé lorsqu'on somme en premier les termes ayant la plus petite valeur absolue. 1.3 Phénomènes de compensation. Lorsqu'on tente d'eectuer des

peut associer à toute suite strictement croissante (s1 , . . . , sp ) une partie {s1 , . . . , sp } à p éléments de {1, . . . , n}, et l'application réciproque consiste à ordonner les éléments d'une partie {s1 , . . . , sp }. Le cardinal recherché est donc le nombre de combinaisons de p éléments p parmi n, soit Cn . 2. Se donner une suite croissante (au sens large) de p éléments de {1, . . . , n} revient à se donner, pour i = 1, . . . , n, le nombre xi d'éléments de la suite égaux à i, avec la condition

. . . . . 55 potentiels 57 3.1 Existence de potentiel scalaire : th´eor`eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Existence de potentiels vecteurs : th´eor`emes de Cauchy g´en´eralis´es . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.1 Rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.2 Premier th´eor`eme de Cauchy g´en´eralis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.3 Lemmes . .

. . . . . 5.5 Consistance des sch´mas num´riques, convergence . . . . . . . e e 3 37 37 38 38 39 40 41 42 42 44 45 47 47 48 48 49 50 50 51 51 51 52 53 6 Exercices 6.1 EDO . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Lemme de Gronwall 6.1.2 Probl`me de Cauchy e 6.1.3 Runge-Kutta . . . . 6.1.4 Syst`mes d’EDO . . e 6.2 EDP . . . . . . . . . . . . . 6.3 Lois de conservation . . . . 6.4 EDS . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 EDS : solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

heure Les documents, calculatrices non autorisés. Questions de cours Soit E un espace topologique séparé. 1. Soit (xn) une suite convergente de E et soit e sa limite. Montrer que l'ensemble C = {e} U {xn, n E N} est compact. 2. On suppose que (xn) est de Cauchy. Montrer que la suite est conver- gente si et seulement si elle admet une sous-suite convergente. 3. Soient A et B deux sous-ensemble~ de E d'intersection trer que A U B est connexe c.Q\.1\1.W non vide. Mon- Exercice 1