Suite de Cauchy

obtient f (x) = 0 en faisant tendre e n vers +∞. (d) f est donc solution du probl`me de Cauchy associ´ ` (E) et aux conditions y(x) = y (x) = 0. e ea Par th´or`me de Cauchy-Lipschitz cas lin´aire, ce probl`me admet sur [α, β] une unique e e e e solution. Comme la fonction nulle est une solution, f est donc la fonction nulle. 2. Dans le cas g´n´ral (xn ) est une suite born´e de r´els. On peut en extraire une sous-suite e e e e convergente (th´or`me de Bolzano-Weierstrass) et se ramener au cas pr´c´dent

⎝ n ⎠ ⎛ (−1) n u n = ln ⎜1 + n ⎝ ⎞ ⎟. ⎠ ⎛1 ⎞ , u n = sin ⎜ + n ⎟π . ⎝n ⎠ n , u n = sin(π n 2 + 1). (−1) n . α n +1 1. Montrer que la série numérique de terme général u n est convergente et que: f/ Soient α > 0 et la suite numérique u n définie par u n = ∑ un = n ≥0 1 1 ∫ 1 + tα . 0 n En déduire : (-1) ∑ n + 1 = ln2, n ≥0 (-1) n π ∑ 2n + 1 = 4 , n ≥0 π (-1) n 1 ∑ 3n + 1 = 3 (ln 2 + 3 ). n ≥0 Commentaire : Cet exercice a pour objectif

Résistance durant la Seconde Guerre mondiale. Souvent considéré comme un des principaux héros de la Résistance. Les « collabos » : le maréchal pétain né le 24 avril 1856 à Cauchy-à-la-Tour et mort le 23 juillet 1951 à Port-Joinville, sur L'Île-d'Yeu, est un militaire, diplomate, homme politique, et homme d'État français. A la suite de la signature de l’armistice, il s’octroie le titre de chef de l’état francais qu’il conserve durant les quatre années de l'Occupation nazie. Il engage la Révolution nationale

Raisonnements par r´currence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 e 3.2 Exposants rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ´ 4 SUITES NUMERIQUES 4.1 Limite d’une suite . . . 4.2 L’infini en analyse . . . 4.3 Existence de la limite . 4.4 Exercices . . . . . . . . 24 24 29 31 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pour cette topologie, on a les propriétés suivantes. 1. Les intersections finies de semi-boules ouvertes forment une base d’ouverts. 2. Un système fondamental de voisinages de x ∈ E est donné par{ ⋂ j∈J Bpj(x, rj) ; J ⊂ I finie , rj > 0 } . 3. Une suite (xn) d’éléments de E converge vers x si et seulement si ∀i ∈ I, pi(xn − x) −−−→ n→∞ 0 . 4. La topologie O est séparée si et seulement si (pi)i∈I est séparante, c’est-à-dire ∀x 6= 0, ∃i ∈ I, pi(x) 6= 0 . 5. Soit F un autre espace vectoriel muni de la

de corde [x, x + δx] s’´crit donc, pour la composante parall`le ` e1 : e e a T (x + δx, t) − T (x, t) = 0 , et pour la composante orthogonale ` e1 : a x+δx T (x + δx, t) ∂x u(x + δx, t) − T (x, t) ∂x u(x, t) = x 2 ρ0 ∂tt u(y, t) dy . Par suite, T (x, t) = T0 (t) est ind´pendant de x, et en faisant tendre δx vers 0 dans la e seconde ´quation, on obtient e 2 2 T0 ∂xx u = ρ0 ∂tt u . Si T0 est de plus suppos´ ind´pendant de t, on a bien une ´quation des ondes, avec e e e c = T0 , ρ0 ` condition

x→0 x→1 et en cas de limite non nulle : ex cos x (1.6) Dans le contexte 1.5, si vn −→ l (r´el, complexe ou ±∞), alors un −→ l. Si la suite (vn ) e n→+∞ α(α−1)...(α−n+1) n x n! ´ (2.2) Equivalents classiques. f (x) −→ 1. g(x) x→x0 un + o(x2n+1 ) n→+∞ est born´e, alors la suite (un ) l’est aussi. e (1.7) Si la suite (un ) converge vers le nombre fini et non nul l, alors un ∼ l lorsque n → +∞. Idem pour une fonction. x→0 x→0 (2.3) Formule de Taylor-Young

d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Critère de la convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.5 Critère des équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Valeur principale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Intégrales de références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1 Intégrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2 Intégrales de Bertrand

Ker(I − f ) et Im(I − f ). 5. Pour tout entier k on note Fk = 1 (I + f + f 2 + · · · + f k ) 1+k o` u l’application f j est d´efinie de proche en proche par f 1 (x) = f (x) et f j (x) = f (f j−1(x)) pour x ∈ Rn . Montrer que pour tout x ∈ Rn , la suite (Fk (x))k converge vers P (x) o` u P est la projection orthogonale sur Ker(I − f ) (on pourra consid´erer successivement les cas x ∈ Ker(I − f ) et x ∈ Im(I − f )). Corrig´ e Exercice 1 1. Pour x, y ∈ R3 , on pose f (x, y) = x1 y1 − 8x2 y2 + 8x3

également utilisés dans un grand nombre d’autres théories mathématiques. Passons en revue ces trois parties de l’analyse pour le cas des fonctions réelles d’une variable, et essayons de dégager quelques aspects importants qui serviront pour comprendre la suite. Introduction iii Continuité Qu’est-ce qu’une fonction continue ? Pour trouver une bonne réponse à cette question, les mathématiciens ont mis plus de cent ans de temps de réflexion. Peut-être l’auraient-ils trouvée plus vite s’ils avaient