Suite de Cauchy

l’esprit). e Une d´finition pr´cise le sens math´matique d’un mot ; par exemple : e e e D´finition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆme priv´ d’un e e e ´lement. Un ensemble est infini si il n’est pas fini. e On voit tout de suite deux difficult´s avec cet exemple : d’abord il faut avoir d´fini e e “ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆtre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre e suivant) pour que la d´finition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm´diat que la d´finition

,n} : τ1k ◦ τ12 = γk et τ12 ◦ τ1k = γk2 , où γk = (1,2,k). En déduire, pour tout (i, j) de {3,. . . ,n}2 : τ1i ◦ τ1 j = γi ◦ γ j2 . En déduire que {(1,2,i); 3 groupe An. i n} engendre le sous- 2.2 • Applications multilinéaires Dans toute la suite de ce chapitre 2, K désigne R ou C . 2.2 Applications multilinéaires 2.2.1 Généralités Définition Soient p ∈ N∗ , E 1 ,. . . ,E p ,F des K-ev. Une application ϕ : E 1 × . . . × E p −→ F est dite p-linéaire (ou : multilinéaire) si et seulement si

Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de Riemann Primitives Méthode de calcul des intégrales Subdivision : Fonction en escalier Intégrale d'une fonction en escalier Subdivision Denition . On appelle subdivision de [a, b] toute suite nie σ = (a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b). L'ensemble supp σ = {a = x0 , x1 , ..., xn = b} est appelé le support de la subdivision σ . On note S[a,b] l'ensemlble des subdivisions de [a, b]. Mars 2012 Intégrale des fonctions en escaliers Fonctions

s’il est utile, il est nécessaire que ses objectifs soient clairs. Pour cela, en réunissant une équipe de compétences diverses, il importe de s’interroger sur le besoin et la demande et de mesurer l’incidence de cette préoccupation. Il s’agit, par la suite, de définir la nature du changement à opérer, les actions à mettre en place et les moyens nécessaires à leur réalisation. Les bases de l’évaluation sont posées dès cette phase de construction. L’évaluation doit permettre d’observer l’atteinte des objectifs

g ρL3 g Lg L : longueur caractéristique de l’écoulement, V : vitesse caractéristique de l’écoulement. Ce rapport permet de distinguer le régime fluvial ou torrentiel que nous avons vu au §2.3. ( ) ( ) ( ) 4.2.4. - Le Nombre de Cauchy Le nombre de Cauchy est le rapport entre les forces d’inertie (Ma) et les forces d’élasticité (EA). E : module d’élasticité. Ma ρL3 (L / T 2 ) ρV 2 = = EA E EL2 ( ) 4.2.5. - Le Nombre de Weber Le nombre de Weber est le rapport entre les forces d’inertie

partie de l'ensemble considéré : 1") A = ( X E Q 1x217) 2) B = { x E Q /x358) " 3") C = ( X E IR /x215) Solution 1") Soit A = (x E Q / x2 < 7). D'abord : VXEA x217 O et xO z O . Ainsi, on a construit une suite géométrique d'éléments de E, de premier terme xo et de raison xo E IO, 1[. Cette suite est convergente et tend vers O. D'où : Donc, en particulier xl=$e E et O < XÔ < E. Y D'où V & > O 3 x 1 E telque ~ OO 3z0eC telque -- 2 fi< z , < - -A . +& 2 2 Ce qui montre que inf C = - 2

“base du traitement du signal”. Dans ce cours nous envisageons l’´etude de certains de ces outils. En signal on mod´elise la grandeur physique observ´ee par un objet math´ematique d´ependant de la variable r´eelle t repr´esentant le temps. Dans la suite, le mot signal d´esignera indiff´eremment la grandeur physique observ´ee ou l’objet math´ematique servant `a la mod´eliser. En th´eorie du signal, on a l’habitude d’envisager les cas suivants : D´ eterministe/al´ eatoire : la premi`ere distinction

Densité de l’ensemble des décimaux dans R Les propriétés ci-dessous montrent que l’ensemble des décimaux est dense dans R. Soit x un nombre réel. Pour tout n de N, posons αn = 10−n 10n x et βn = αn + 10−n . – La suite (αn ) est une suite croissante de nombres décimaux. – La suite (βn ) est une suite décroissante de nombres décimaux. – Les deux suites (αn ) et (βn ) convergent vers x. 4.1.9 Droite achevée R Définition 4.1.14 On note R l’ensemble R ∪ {−∞, +∞}. Cet ensemble est appelé droite numérique

(non trait´e ici). On termine par la d´finition d’une dizaine e e e de termes indispensables a la bonne compr´hension de la suite de ce cours. ` e 1.1 1.1.1 G´n´ralit´s sur la statistique e e e D´finition e Il n’est pas commode, dans une introduction, de donner une d´finition pr´cise du concept de e e statistique, alors que son contenu sera en partie ´labor´ dans la suite de ce cours. Nous nous e e contenterons donc, pour fixer les id´es, d’en donner une d´finition volontairement assez vague.

naturel et p un nombre premier. Montrer que la valuation de n! en p vaut k∈ ∗ n/ p k . En déduire par combien de zéros l’écriture décimale du nombre 10n ! se termine. 1. Concepts algébriques fondamentaux 5 Diviseurs communs dans la suite de Fibonacci Notons φn la suite de Fibonacci définie par φ0 = 0, φ1 = 1 et φn+2 = φn+1 + φn . Montrer que pgcd {φ m , φn } = φpgcd{m,n} . Indication. Montrer par récurrence sur m que φn+m = φ m φn+1 + φ m−1 φn et, remarquant que pgcd φn+1 , φn = 1, déduire pgcd φk