Théorème de Bayes

com/9807m05.html) - Naïve Bayes (ou encore Simple Bayes) - réseaux de neurones - machines à support de vecteurs (ou SVM) - Programmation génétique Vous trouverez une très bonne documentation dans le livre de Tom Mitchell « Machine Learning » (ISBN 0071154671). Nous décrivons succinctement ces différentes méthodes et détaillons les plus utilisées pour la classification supervisée de documents : K plus proches voisins, arbres de décision et Naïve Bayes. Parmi toutes les méthodes, Naïve Bayes l’emporte souvent

indiquera un chiffre de 1 à 6. On doit donc avoir P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1, ce qui est bien le cas. Attention ! Cette propriété n'est toujours vraie que pour des événements élémentaires. Événements élémentaires équiprobables Ce théorème est la version moderne de la définition qu'avait donnée Laplace en 1812 (voir introduction). Donc, en généralisant : P(I1) + P(I2) + ... + P(In) = P(Ω) = 1 On vient de voir ce qui se passait avec un dé non pipé. Les événements {1}, {2}, {3}, {4}

probabilité et P(A ∩ B) = P(A|B)P(B). 11. MAP 311, Chapitre 2, Section 2.4.1 Formule de Bayes Soit (Bi )i∈N une partition finie ou dénombrable de Ω : Bi ∩ Bj = ∅ pour i = j. ∪i Bi = Ω. Formule des probabilités totales : Pour tout A ∈ A, P(A ∩ Bi ) = P(A) = P(A|Bi )P(Bi ). i i Preuve : A = ∪i∈I (A ∩ Bi ), les (A ∩ Bi ) sont deux-à-deux disjoints, et P(A ∩ Bi ) = P(A|Bi )P(Bi ). Formule de Bayes : Si P(A) > 0, ∀i ∈ N, P(Bi |A) = Preuve : P(Bi |A) = P(A∩Bi ) P(A) P(A|Bi )P(Bi

dénombrable Chapitre 4 : 4.1 Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes 29 Probabilité conditionnelle 2001 - 2002 Biostatistiques - Boisvieux, Golmard, Mallet & Morice 3/159 Sommaire 30 31 32 34 34 37 37 38 38 38 41 41 43 43 43 44 47 47 47 47 50 50 50 50 53 53 54 54 55 57 57 58 58 59 60 61 61 61 62 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Théorème de la multiplication Diagramme en arbre Théorème de Bayes Indépendance entre événements Indépendance, inclusion et exclusion de

. . . . . . . . . . . . . . . . 7 Analyse Discriminante 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Analyse discriminante décisionnelle . . . . . . . . 7.2.1 Règle de décision . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Risque de Bayes . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Cas de variables aléatoires gaussiennes . . 7.2.4 Cas de variables dépendantes quelconques 7.3 Analyse factorielle discriminante . . . . . . . . . 7.3.1 Variances interclasse et intraclasse . . . . 7.3.2 Axes et variables

probabilités des évènements élémentaires dont la réunion est ?. 2. La probabilité de ? ≤ ?(?) ≤ ?. � ?(?) = ? − ?(?). 5. Si ? ⊂ ?, alors ?(? ∖ ?) = ?(?) − ?(?) et ?(?) ≤ ?(?). 4. 6. 7. ?(∅) = ?. ?(? ∪ ?) = ?(?) + ?(?) − ?(? ∩ ?). Théorème : "Probabilité uniforme" Soit Ω = {ω1 , ω2 , … , ω ? } un univers fini et ? une probabilité sur ?(Ω). La probabilité ? est dite uniforme ou une équiprobabilité, lorsque tous les évènements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés

Chapitre 5 Probabilités et variables aléatoires sur un univers fini Exercice 0 : Questions de cours 1/ Formule des probabilités composées 2/ Formule de Bayes 3/ Formule des probabilités totales 4/ Formule de Bienaymé-Tchebychev 5/ Théorème de transfert 6/ Loi uniforme : formule, espérance, variance et écart-type 7/ Loi de Bernoulli : formule, espérance, variance et écart-type 8/ Loi binomiale : formule, espérance, variance et écart-type Exercice 1 On considère l’expérience aléatoire qui consiste

chaque ej il est en mesure d’associer une probabilité Pr (ej) = pj, avec pj ≥ 0 et ∑j pj = 1. Dans ce contexte, le critère le plus naturel consiste à calculer l’espérance mathématique associée à chaque action : c’est le critère de Bayes. 2.1 Le critère de Bayes * Principe : On note E(Ci) = ∑jpjcij, l’espérance de gain associée à l’action ai. On choisit alors l’action qui maximise l’espérance de gain du décideur. Exemple 1 : On suppose : P1 = ¼ P2 = ½ P3 =

l’hypothèse du procureur selon laquelle le suspect est à l’origine de la trace ADN Hd : Il s’agit de l’hypothèse de la défense selon laquelle une autre personne que le suspect est à l’origine de la trace ADN. La formule mathématique inspiré de Thomas Bayes : I : Informations générales sur le cas, circonstances de l’affaire E : Evidence, correspondance entre une trace et le matériel de comparaison P(E/Hp,I) : concerne la probabilité d’observer « ce profil génétique » sachant l’hypothèse du procureur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Théorème des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Inégalité de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Théorème des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .