Théorème de Bayes

Therefore: two events are independent if the probability that both occur is equal to the product of their individual probabilities. Bayes’ Theorem Example Sometimes we know certain conditional probabilities associated with a random experiment, but the probability of interest to us involves reversing the conditioning. Bayes’ Theorem may be used in this situation. Theorem: Let a random experiment have sample space S, which is partitioned completely by a sequence of events B1, B2, B3, …., where [pic]

à F. on appelle la loi de probabilité sur cet espace toute applications de F dans [ 0 , 1 ] possédant les propriétés suivantes : - P(E)=1 - P(A)0,P(B)0 - P ( A  B ) = P ( A ) + P ( B ) si et seulement si A  B =  - généralisation : D . Théorème des probabilités totales Lorsque deux événements A et B ne sont pas incompatibles ( non disjoints ) A  B   , la probabilité de P ( A  B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A  B ) 1 . Exemple Dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité de

sont les probabilités d'appartenir aux classes C1, C2, C3 et C4? Réponse : Dans cette question on a à calculer la probabilité d’appartenir à une classe sachant que ?̅ se réalise ( Aucun accident n’est déclaré ). On applique ainsi le théorème de Bayes : ? ? � 1�� � = ? � ? � ?� ? � × ?(?1 ) 30% × 0.97 1 = = 33.14% �� 0.878 ?� ? ? ? � 3�� � = ? � ? � ?� ? � × ?(?3 ) 40% × 0.83 3 = = 37.81% �� 0.878 ?� ? ? ? � 2�� � = ? � ? � ?� ? � × ?(?2 ) 20% × 0.95

............................................................................................ 18 E - Loi des grands nombres et théorème de la limite centrale ........................................................... 20 I - La loi des grands nombres......................................................................................................... 20 II - Le théorème de la limite centrale ou « central- limite » ........................................................... 21 1 A- ELEMENTS DE

les événements suivants : M : Bob est atteint de la maladie P : le résultat du test de Bob est positif. L'énoncé du problème nous révèle les probabilités suivantes : P(M) = 0.005 et donc P(M’) = 0.995, P(P\M) = 0.99, P (P\M’) = 0.03. 1. Par le théorème de Bayes, la probabilité recherchée, P(M\P), est donnée par : =0.142 Ainsi, seulement 14% des personnes dont le résultat au test est positif sont vraiment atteintes de la maladie. 2. On cherche P (P’\M) : P (P’\M) = 1 - P(P\M) = 1 – 0.99 = 0.01 3

suivantes est une tribu : 1 2 3 4 A = {∅, Ω}; B = {∅, Ω, A, B}; C = {∅, Ω, A, A}. D = {∅, Ω, A, A, A ∪ B, A ∪ B, A ∪ B, A ∪ B}. Calcul des probabilités 2011 - 2012 12 / 29 I. Elhattab (ENCG) Notions de base Tribu des événements Théorème Soit A, B et C trois événements de Ω : 1 2 3 A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Démonstration 1 2 3 I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités 2011 - 2012 13 / 29

à Ω : 2. 3 Propriétés Théorème 1 Démonstration : On sait que selon l’axiome 3 Or, Théorème 2 Démonstration : On sait que selon le théorème 1 Or, l’axiome 2 nous dit que soit selon l’axiome 2 Théorème 3 Démonstration : On crée E3 : il existe E3 tel que Faire Or, Puisque Ce théorème a deux conséquences : Conséquence 1 : si Pour tout Pour tout Conséquence 2 : Pour tout Pour tout Théorème 4 : Démonstration : Or, d’après le théorème 2 Et d’après l’axiome 2

suspect). Il s'agit de déterminer s'il est plus probable que la voix incriminée appartienne à un suspect ou que la voix incriminée appartienne à un individu pris au hasard dans une base de donnée. Cette évaluation est en fait l'application du théorème de Bayes.  En revanche, ces méthodes automatiques doivent être adaptées à des conditions d'enregistrement qui ne sont pas contrôlées et qui sont parfois de mauvaise qualité. En effet, des différences dans le "canal de transmission" de la voix (internet

l'on veut trouver est A tel que (D+/T+)=A, autrement dit la personne est dopée et le test est positif. On utilise pour cela le théorème de Bayes. On trouve: P(D+/T+)= P(T+/D+)P(D+) autrement écrit A= Y*Z P(T+) P(T+) Théorie de Bayes (mathématicien du XVIII° siècle): Introduction au théorème: Le théorème de Bayes est souvent utilisé avec des probabilités conditionnelles, c'est à dire qui prennent compte des informations complémentaires

P(B)*PB(A) = P(A) + P(B) – ) – (dessin) b) Formule de proba totale Soit P(A), P(B), P(C), P(D) … P(n) : Des proba correspondant chacune à un évènement d’une partition. On a alors : P(T) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + …. + P (n) Théorème des probas totales : c) Indépendance Soit A et B, deux évènements tels que : Dans certaine situation, le fait de savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité que B le soit. On a alors : PA(B) = P(B) On dira alors que B est