Théorème de Bernoulli

2 x 3° Propriété des valeurs intermédiaires a - Théorème des valeurs intermédiaires y f(b) f(x)=k f(a) O a c b x Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ; b]. Soit k un réel quelconque situé entre f(a) et f(b) (ces deux valeurs comprises) ; alors il existe au moins un réel c dans [a ; b] tel que f(c) = k. Mathématiques Terminale ES – V06/09 – page 4 © Complétude 2009/2010 b - Cas d’une fonction monotone « Théorème de la bijection » Soit f une fonction continue et strictement

Solutions to exercises 10. A chaotic end? 1. Introduction 2. Literature 3. The Second World War 4. Abstraction and ‘Bourbaki’ 5. The computer 6. Chaos: the less you know, the more you get 7. From topology to categories 8. Physics 9. Fermat’s Last Theorem Appendix A. From Bourbaki, ‘Algebra’, Introduction Appendix B. Turing on computable numbers Solutions to exercises Conclusion Bibliography Index 228 231 231 232 232 235 235 236 238 240 243 246 249 251 254 256 256 258 260 263 271 List of figures

pour la résolution des exercices • Résolution des équations et inéquations du premier et du second degré dans R • Raisonnement par récurrence • Définition de la fonction partie entière • Notions de borne supérieure et borne inférieure dans R et le théorème : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure dans R. Les méthodes à retenir • On sait résoudre les équations et les inéquations du premier degré ou © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Pour résoudre une

historiens et les documents disponibles, etc. • la précision à faire sur : – le nom complet de l’inventeur : pour enlever toute ambiguïté possible de surnom ou de lien familial (ex. les frères (Jacques, Jean et Daniel) et fils (Daniel fils de Jean) Bernoulli) ; 211 – la période vécue par cet inventeur1 : pour voir l’éventualité d’une communication directe avec d’autres mathématiciens contemporains ; – le pays ou la ville d’origine : l’influence de la langue maternelle, la possibilité d’un lien

d’hyperstaticité, isostaticité). Application en CAO : passage du modèle numérique au modèle d’étude. S623 Associations de pièces et de liaisons : • • • S63 Statique 1 • • Énoncé du principe. Traduction vectorielle : o Théorème de la résultante générale, o Théorème du moment résultant. Niveaux 2 3 4 S631 Principe fondamental de la statique : Réciprocité des actions mutuelles S632 Résolution d’un problème de statique : • • • Analytique dans les cas simples. Graphique, limité à

ii), on peut écrire: P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac ) et P (A) = P (B ∩ A) + P (B c ∩ A) , donc P (A ∪ B) = P (A ∩ B) + P (A) − P (A ∩ B) + P (B) − P (A ∩ B) . On a bien le résultat. iv) Par récurrence, c’est une conséquence directe du iii). Théorème 1.10. Si P : A → [0, 1] est une probabilité, alors: i) Pour toute suite (An )n∈N d’éléments de A telle que ∀n ∈ N, An ⊂ An+1 et limn→+∞ An = A, on a lim P (An ) = P (A). n→+∞ ii) Pour toute suite (An )n∈N d’éléments de A telle que ∀n ∈ N

apprend la base pour modéliser des liaisons parfaites ou non entre des pièces d’un système, on étudie la dynamique des solides (programme de physique de spé pour MP et PC), on applique les théorèmes généraux de la mécanique (principe fondamental de la statique/dynamique, théorème de l’énergie cinétique, théorème de la puissance cinétique), on étudie les frottements entre pièces et l’hyperstatisme d’une liaison. Génie électrique : on étudie l’automatisme (grafcet, capteurs…), la logique, l’asservissement

apprend la base pour modéliser des liaisons parfaites ou non entre des pièces d’un système, on étudie la dynamique des solides (programme de physique de spé pour MP et PC), on applique les théorèmes généraux de la mécanique (principe fondamental de la statique/dynamique, théorème de l’énergie cinétique, théorème de la puissance cinétique), on étudie les frottements entre pièces et l’hyperstatisme d’une liaison. Génie électrique : on étudie l’automatisme (grafcet, capteurs…), la logique, l’asservissement

un e nombre entier positif. La mesure de probabilit´ B(n, p) d´finie sur (R, B 1 ) e e par n n k n−k B(n, p) = εk , p q k k=0 o` q = 1 − p, est appel´e loi binomiale de param`tres (n, p). La loi B(1, p) = u e e e e qε0 + pε1 est appel´e loi de Bernoulli de param`tre p. D´finition. — Une variable al´atoire r´elle X ayant une loi de probabilit´ e e e e binomiale B(n, p) est dite binomiale de param`tres (n, p). e Par exemple, dans le tirage avec remise, si la proportion de boules blanches dans l’urne

lim 1− n 3 = −∞ donc, par comparaison n →+∞ or lim b = −∞ . n→+∞ n Corrigé séquence 1 – MA02 15 ▶  Pour tout n or n ∈N , sin n ≤ 1  3 0 ≤ cn ≤    4 donc n n  3 (car   ≥ 0 )  4  3 3 = 0 (car −1 < < 1) d’où par le théorème des gendarmes lim   n →+∞  4  4 lim   c n = 0 puis lim c n = 0. n →+∞ n →+∞ tout n ∈N , −1 ≤ cos n ≤ 1 donc n − 1 ≤ n + cos n ≤ n + 1 . De plus, pour tout n ≥ 2, 3 − 2n < 0 1 n + 1 n + cos n n − 1 donc < 0 ainsi par produit, pour tout n ≥