Théorème de convergence dominée

fonctions 4.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Continuité des limites et des sommes pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ii 4.4 4.5 4.6 4.7 5 Table des matières Dérivabilité des limites et des sommes pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration des limites et sommes pour la convergence uniforme Exercices

Théorème de renouvellement en Chaine de Markov Introduction : Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn, n ∈ N) qui modélise l’évolution dynamique d’un système aléatoire. La v.a Xn représente l’état du système à l’instant n. La propriété fondamentale des chaînes de Markov, dite propriété de Markov, est que son évolution future ne dépend du passé qu’à travers sa valeur présente. Définitions : Soient (Ω,a,P) un espace de proba et E l’espace des états. 1) Une matrice

étudier F, on a besoin de théorèmes généraux permettant de déterminer si F est continue, dérivable et de pouvoir exprimer la dérivée. Continuité d'une intégrale à paramètre Théorème : Soit f:I×J->R une fonction continue par morceaux telle que 1. Il existe une fonction g:J->R intégrable telle que, pour tout x de I et tout t de J, on a 2. Pour tout t de J, la fonction est continue sur I. Alors la fonction F définie sur I par est continue sur I. |   Le théorème précédent est énoncé dans

6 Convergences 101 6.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.1.2 Caractérisation de la convergence en loi . . . . . . . . 102 6.2 6.3 6.4 6.5 Index 6.1.3 Approximation de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2.2 Convergence en probabilité

iab dt. a2 cos2 t + b2 sin2 t 1 http://www.bibmath.net Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé D’autre part, γ est le paramétrage d’une ellipse. Son indice par rapport à 0 est 1. D’après le théorème de Cauchy, on a dz = 2iπ. γ z Par identification des parties réelles et imaginaires, on trouve que l’intégrale recherchée vaut 2π/ab. Exercice 5 - Une intégrale ! - L3/M1 1. On a z2 1 1 = +1 2i 1 1 . − z−i z+i D’après la formule de Cauchy, on

. . . . . . . . . 2.3.1 Définitions et théorème de convergence monotone . . . 2.3.2 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Application : Mesures à densité . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Fonctions intégrables à valeurs dans R ou C . . . . . . . . . . . 2.4.1 Cas de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Cas de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Théorème de la convergence dominée . . . . . . . . . . 2.5 Applications .

supérieures, 0 < e−t tx−1 ∼ tx−1 . Or, puisque x − 1 > −1, la fonction t → tx−1 est intégrable sur un voisinage de 0 et on en déduit que la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur un voisinage de 0. 1 • Quand t tend vers +∞, e−t tx−1 = o 2 d’après les théorèmes de croissances comparées. On en déduit que la t fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur un voisinage de +∞. Finalement ∀x ∈]0, +∞[, la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur ]0, +∞[. b. Soit x > 0. Soient ε et A deux réels tels que 0 < ε <

CONTINUITE ET INTEGRATION Théorème 0.1 (Continuité) I est un intervalle de R, a ∈ I et (fn )n une suite de fonctions définies de I dans R telle que : i) fn −→ f CU (converge uniformément) ii) ∀n ∈ N : fn continue en a Alors : f est continue en a Théorème 0.2 (généralisation) (fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose : i) fn −→ f CU (converge uniformément) dans [a, b] ii) ∀n ∈ N : fn continue dans [a, b] Alors : f est continue dans [a, b] Théorème 0.3 (CU et intégrabilité) (fn

Intégrale impropres 27 2.1 La convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Intégrales impropres des fonctions à signe constant . . . . . . . . . . . . 28 12.2.1 Critère de la convergence majorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Critère d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Critère de la convergence dominée . . . . . . . . . . . . . .

SERIES DE FOURIER PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme 4) Cas des fonctions T–périodiques Annexe I : Quelques représentations graphiques Annexe II : Quelques sommes de séries Annexe III : localisation temps-fréquence et inégalité de Heisenberg Préambule