Théorème de convergence monotone

Dénombrement .............................................................. 37 B. Probabilités discrètes .................................................... 38 C. Variables à densité ........................................................ 42 D. Convergence et approximation..................................... 45 E. Estimations ................................................................... 47 Le fond et la forme ................................................................. 49 A. Le fond :

des suites. Plan du chapitre : 1) Corps des réels : 1.1 : Notion de fonctions et notations. 1.2 : Construction sommaire de R. 2) Suites numériques: 2.1 : Définitions et notations. 2.2 : Suites particulières. 2.3 : Suites monotones (croissance ou décroissance) 2.4 : Nature (convergence ou divergence) d’une suite 2.5 : Etude de suites particulières. 1) Corps des réels : 1.1 : Notion de fonctions et notations. On suppose acquise la notion intuitive d’ensemble. On détermine un ensemble E en explicitant

Lois de Morgan Proposition : Soient les ensembles A, B. Alors Proposition : Soient les ensembles A, B. Alors Preuves : Evident : faire un dessin 3.2 Convergence des suites 3.2.1 Suites et sous-suites Rappel : voir 3.1.5 Proposition : On peut ajouter, supprimer, modifier un nombre fini de termes d’une suite sans en modifier la convergence 3.2.2 Opération sur des suites convergentes Proposition : Si la suite (un) converge vers u, alors la suite ( ) converge vers . Preuve : par définition

pour tout n ≥ n0 , un +1 ≤ un ; z la suite (un ) est strictement décroissante si pour tout n ≥ n0 , un +1 < un ; z la suite (un ) est constante si pour tout n ≥ n0 , un +1 = un ; z si une suite est croissante ou décroissante, on dit qu’elle est monotone. Séquence 1 – MA02 3 © Cned - Académie en ligne Définition Soit (un ) une suite définie pour n ≥ n0 . On dit que : z la suite (un ) est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n ≥ n0 , un ≤ M  ; zla suite (un ) est minorée

positives. . . . . . . . . . 2.3.1 Définitions et théorème de convergence monotone . . . 2.3.2 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Application : Mesures à densité . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Fonctions intégrables à valeurs dans R ou C . . . . . . . . . . . 2.4.1 Cas de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Cas de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Théorème de la convergence dominée . . . . . . . . . . 2.5 Applications

Dénombrement .............................................................. 37 B. Probabilités discrètes .................................................... 38 C. Variables à densité ........................................................ 42 D. Convergence et approximation..................................... 45 E. Estimations ................................................................... 47 Le fond et la forme ................................................................. 49 A. Le fond

Ce nombre est appelé la limite de la suite, ce que l’on note n→+∞ Preuve. Soit ε > 0 un nombre réel strictement positif. Par définition, il existe N ∈ N et = 0. n lim un = . 597 |un − 0| = un ≤ 1/n ≤ 1/N < ε ce qui montre la convergence de la suite vers 0. La remarque suivante est presque évidente, mais très importante en pratique. Méthode Inégalités strictes ou larges Dans la définition de la limite, il est toujours possible de choisir arbitrairement le type d’inégalités

R est l’ensemble-quotient E/R, inclus dans P(E). – La relation d’équivalence associée à f est : x Rf y ⇔ f (x) = f (y). – Une relation binaire est une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. – Si f est monotone et bijective, f −1 est monotone de même sens lorsque E est totalement ordonné. – Le plus grand élément (∀x ∈ E, x M ), un élément maximal (∀x ∈ E, M x ⇒ x = M ) et la borne supérieure (le plus petit des majorants). – Pour un ensemble (E, ) totalement ordonné, S

SUITES MONOTONES. 1. Convergence des suites monotones. 1.1. Théorèmes de convergence. Propriété : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Remarque : cette propriété ne donne pas la valeur de la limite mais uniquement son existence et une inégalité sur la limite. En effet, si (un) est croissante et majorée par le réel K alors pour tout n, un ≤ K et donc d’après le théorème de comparaison lim un # K . n! +" Propriété : une suite croissante

classiques A) Dérivation 1 - Définition. Domaines de définition. 2 - Rappel de quelques formules. 3 - Applications de la dérivation : sens de variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B) Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques et limites. Le nombre e. 2 - Fonction logarithme de base a : définition, propriétés