Théorème de convergence monotone

covariance Sample correlation Order statistic Samples from the normal distribution Convergence of random variables . . . Convergence in probability Uniform convergence in probability Little o error notation Big O error notation Order symbols Asymptotic equivalence Convergence in Lp Almost sure convergence Convergence in distribution Central Limit Theorem for iid samples Central Limit Theorem for niid samples Slutsky’s Theorem Delta Method Parametric models . . . . . . . . . . . Parametric model Parameter

développera des techniques de base permettant une maîtrise des représentations graphiques et une bonne connaissance des méthodes statistiques. II CONSEILS METHODOLOGIQUES: 1) L'activité mathématique ne consiste pas en une suite bien ordonnée de théorèmes: toute introduction d'une notion nouvelle doit être précédée de l'étude d'une situation permettant d'appréhender cette notion et suivie d'applications immédiates. 2) L'enseignement des mathématiques ne saurait se réduire à un ensemble de résultats

convergente lorsqu’il existe [pic] tel que [pic] Remarque : [pic] « Aussi petit que soit [pic] strictement positif, il existe un rang à partir duquel les termes de la suite [pic] sont dans l’intervalle [pic] ». Théorème : Soit [pic], [pic] Si [pic] converge vers l et l’, alors [pic]. Démonstration : par l’absurde. Supposons [pic], par exemple [pic]. Soit [pic] tel que [pic] (ce qui est possible car [pic]) Alors :

définie par u n = 3 3 Propriétés Théorème 1 Si u n = f (n) pour tout n, où f est une fonction yant une limite en +∞ alors lim u n = lim f (x) n→+∞ Exemple : u n = sin x→+∞ 1 π + n 2 On appelle f la fonction définie sur R∗ par f (x) = sin lim x→+∞ 1 π + x 2 1 π π + = et limπ sin x = 1 donc lim f (x) = 1 = lim u n x→+∞ n→+∞ x 2 2 x→ 2 Théorème 2 Lorsqu’elle existe la limite d’une suite est unique. Théorème 3 Quand une suite définie par une relation

. . . . . . . . 1 1 1 7 13 17 22 25 30 35 35 52 69 82 92 101 117 Dérivation 129 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications

que si (un) et (vn) sont deux suites telles que : – un est inférieur ou égal à vn à partir d’un certain rang ;  On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite l, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à l. Le théorème dit « des gendarmes » est admis. – un tend vers +  quand n tend vers +  ; alors vn tend vers +  quand n tend vers + . Opérations sur les limites. • Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites. Comportement à

]0 ; +1[ et l’image de l’intervalle est ] 1 ; +1[, avec 0 qui appartient à ce dernier donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un unique  2]0 ; +1[, tel que f () = 0. 3. Vérifier que : 1 2 6  6 1. On remarque que f  1 2   0:19 et f (1) = 1 + ln(1) = 1. On a donc f  1 2  < 0 et f (1) > 0, donc comme dans la question précédente par application du théorème des valeurs intermédiaire, on en déduit que 1 2 <  < 1 . www.bac-de-maths.fr - Le partenaire de

Résumé du cours d’optimisation. L. HALPERN 13 septembre 2005 2 Table des matières I Résultats théoriques 1 Résultats d’existence 1.1 Théorème de Weierstrass . . 1.2 Cas convexe . . . . . . . . . 1.3 Rappels de calcul différentiel 1.3.1 Dérivées premières . 1.3.2 Dérivées secondes . 1.3.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SERIES DE FOURIER PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme 4) Cas des fonctions T–périodiques Annexe I : Quelques représentations graphiques Annexe II : Quelques sommes de séries Annexe III : localisation temps-fréquence et inégalité de Heisenberg Préambule

variables aléatoires réelles et leurs lois. . . . . . . . . . . . . . . L’espérance mathématique d’une variable aléatoire 5.1 Les variables aléatoires étagées. . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espérance d’une variable aléatoire quelconque. . . . . . . 5.3 Théorème du transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Variables aléatoires indépendantes et espérance du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace 6.1 Moments