Théorème de convergence monotone

cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors 2kπ la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n; n ≤ m. p=m p=m cos px C= On a pour t sin px. S= p=n p=n 2kπ où k ∈ Z : p=m C + iS p=m cos pt + i = p=n p=m sin pt

la sphère S et du plan P. 9 Maths Term S Le sujet Pas à pas ➤ Mobiliser ses connaissances Thèmes du programme Produit scalaire dans l’espace, représentation paramétrique d’une droite, définition d’une sphère, équation cartésienne d’un plan, théorème de Pythagore. Produit scalaire : • Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre réel noté u · v défini par : u · v = 12 u + v 2 − u 2 − v 2 u · v = u × v cos α ou, si α est une mesure de l’angle géométrique associé à u et v, par : u

et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires 5) Suites récurrentes 6) Suites homographiques IV : Comparaison des

Démontrer que si ^unh et ^vnh sont deux On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite ,, alors tous les termes suites telles que : – un est inférieur ou égal à vn à partir d’un de la suite sont inférieurs ou égaux à ,. Le théorème dit « des gendarmes » est admis. certain rang ; – un tend vers + 3 quand n tend vers + 3 ; alors vn tend vers + 3 quand n tend vers + 3. • Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites. Démontrer que la suite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn (xn+1 xn ). Une suite (xn )n2N est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. Si les inégalités sont au sens strictes, on dit que (xn )n2N est strictement monotone. Toute suite monotone et bornée est convergente, et elle n’ admet donc qu’ seul un point d’ accumulation. Il est souvent important de connaître la nature d’ une suite (convergente ou divergente) sans que l’ sache sa limite. Dans ce cas, on utilise le théorème suivant : on Théorème 4.1.1 (Cauchy) Une suite (xn )n2N est convergente

Dénition 2 Soient y : I → Rm , y : I → Rm des solutions de (E). On dit que y est un ˜ ˜ ˜ Dénition 3 On dit qu'une solution y : I → Rm est maximale si y n'admet pas de ˜ I. De ces dénitions découle directement le résultat suivant : ˜ Théorème 4 Toute solution y se prolonge en une solution maximale y (pas nécessairement unique). 2.1.2 Solutions globales On suppose ici que l'ouvert U est de la forme U = J × U où J est un intervalle de R et U un ouvert de Rm . Dénition 5 Une solution

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6 Convergence de suites de variables aléatoires 107 6.1 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2 Convergence en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.3 Convergence presque sûre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.5 Comparaison des modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.6 Lois

tous les termes de la suite u sont dans ˘1 3È l’intervalle ˙ ; Í . ˚2 2Î 3.  Activités d’approche • Activité 1 1  a)  A fortiori, à partir d’un certain rang, tous les termes de 1 la suite u sont strictement supérieur à . 2 n Æ+» D’après un théorème de comparaison, lim vn = + » n Æ+» 2n (1 + 2) = 3 ¥ 5 a) un = La suite (un ) est donc une suite géométrique de raison 2. b) v1 = 2 ¥ v0 + 5 = 2 ¥ ( - 1) + 5 = 3 v2 = 2 ¥ v1 + 5 = 2 ¥ 3 + 5 = 11 v1 v 3 11 = et 2 = ¹-3 v0 - 1 v1 3 2n . La suite

le plus et est le plus petit entier tel que ou . N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 2 Le théorème de Moivre-Laplace va permettre de donner un intervalle de fluctuation calculable directement, sous réserve que soit assez grand. Comme il est obtenu grâce à une convergence, on le qualifie d’intervalle de fluctuation asymptotique. Théorème – Intervalle de fluctuation asymptotique Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale Pour tout réel et