Théorème de convergence monotone

généraux du calcul scientifique (iii) on propose ensuite une méthode numérique adaptée aux propriétés théoriques du modèle (préservant certains invariants par exemple), et on en fait l’analyse numérique. Ceci permet de déterminer la vitesse de convergence de la méthode numérique, sa stabilité. On peut également chercher des estimations d’erreurs a priori et a posteriori (voir Section 1.2). (iv) vient enfin l’implémentation informatique de la méthode (avec éventuellement sa parallélisation sur un gros

conditionnements sont les petits conditionnements (au mieux 1 pour les matrices orthogonales). Pour A symétrique : λ max λ min ; dans la cas général : µ max µ min Théorèmes sur le conditionnement : Théorème : AX = B et A( X + ∆X ) = b + ∆b . On a AX = B et ( A + ∆A)( X + ∆X ) = b . On a ∆X ∆b ≤ Cond ( A) . X b Théorème : ∆A ∆X . ≤ Cond ( A) X + ∆X A Remarque : Le conditionnement traduit l'amplification des grandeurs relatives. Inverse numérique d’une matrice : Soit A une matrice

Suites monotones - majorées - minorées Définition Soit la suite (un)n  n 0 . On dit que (un) est croissante si : On dit que (un) est décroissante si : On dit que (un) est stationnaire si : pour tout n  n0 pour tout n  n0 pour tout n  n0 un+1  un. un+1  un. un+1 = un. Remarque On définit de la même façon une suite strictement croissante ou strictement décroissante en utilisant des inégalités strictes. Une suite croissante ou décroissante est appelée suite monotone. Étudier

Applications Linéaires 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. Applications linéaires . . . . . . . . Sous espace vectoriel stable par f Image et noyau . . . . . . . . . . . Projecteur . . . . . . . . . . . . . . Symétries . . . . . . . . . . . . . . Théorème du rang . . . . . . . . . Système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 18 18 18 19 19 19 19 Ensemble de définition . . . . . . . . . Monotonie .

la suite sauf un nombre fini d’entre-eux. 1 2 =0 • lim 2 + √ = 2 lim Exemples : • n→+∞ 3 + n n→+∞ n Contre-exemple : La suite (un ) de terme général un = (−1)n n’a pas de limite : c’est une suite alternée qui prend les valeurs 1 et -1. Théorème : La suite (un ) converge vers 0 si et seulement si (|un |)converge vers 0. Démonstration : Si (un ) converge vers 0, alors pour tout α > 0 l’intervalle ] − α; α[ contient tous les termes de la suite (un ) à partir d’un rang n0 . Donc pour n >

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 20 21 Convergence des suites et séries 5.1 Espaces vectoriels normés . 5.2 Familles sommables . . . . . 5.3 Séries numériques . . . . . . 5.4 Suites et séries de fonctions 5.5 Séries entières . . . . . . . . . 5.6 Séries de Fourier . . . . . . . 5.7 Intégrales à

composition peut évoluer dans l’année afin de préparer au mieux les écoles « parisiennes ». Les DL sont obligatoires pour tous. Les DL* ne sont obligatoires que pour les élèves du groupe *. 5. Les questions de cours en colle (élèves et colleurs) : Les théorèmes et autres propositions dont les démonstrations sont au programme de colle sont libellés par (QC) ou bien par (QC*). Les questions (QC*) peuvent être proposées aux élèves du groupe * mais pas aux autres élèves. En colle, il doit toujours y avoir en

familier pour ne pas en présenter quelques propriétés caractéristiques avant d’aborder l’ensemble des nombres complexes. On trouvera en annexe une idée de construction de l’ensemble des nombres réel 1 . Certaines définitions de ce chapitre seraient des théorèmes si notre ambition était une construction de l’ensemble des nombres complexes à partir de l’ensemble des nombres réels ; cependant, cette ambition ne serait pas conforme à l’esprit du programme 2 . 1.1 1.1.1 L’ensemble C des nombres complexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 L'induction 3.0.21 3.0.22 Théorème (Bon ordre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe d'Induction (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 15 15 15 Bekkali 3.0.23 Notions fondamentales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .