Théorème de convergence monotone

Avertissement Ces notes ont été redigées pour servir de support au cours M11 “Analyse réelle I ”, enseigné aux étudiants de la première année de la licence STS, mention mathématiques. Il s’agit d’un résumé du cours. Ainsi, les démonstrations des théorèmes ne sont par reportées ici, mais elles sont développées pour la plupart pendant le cours. Il ne faut donc pas considérer ces notes comme un texte de référence et les étudiants sont fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent

de Solution 1.1 ♠♠♠ Exercice 1.2 Montrer que le sous-ensemble X = {r ∈ Q | x2 < 2} de Q n’a pas de borne supérieure dans Q. Solution 1.2 ♠♠♠ Le but de ce chapitre est de donner les principales idées qui conduisent à la démonstration du théorème suivant. Théorème 1.1 Il existe un corps totalement ordonné R qui contient Q dans lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure. 3 4 Le corps R des nombres réels Un tel corps est unique à isomorphisme près. On rappelle que, si X est

. (q ) est une suite strictement d´croissante si et seulement si 0 < q < 1 . e (q ) est une suite constante si et seulement si q = 1. (q ) n'est pas monotone si et seulement si q < 0. n n∈N n n n n 6 Démonstration  Si q < 0, alors les termes q et q sont alternativement positifs et négatifs, donc (q ) ne peut être monotone.  Si q > 0, alors q > 0, et de plus on a q − q = q (q − 1)  donc q > 1 ⇐⇒ q − 1 > 0 ⇐⇒ q − q > 0 ⇐⇒ (q ) est strictement croissante  donc 0 < q < 1

est un minorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A x < m + ε, c'est-à-dire que m + ε n'est pas un minorant. Remarque Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 8 Analyse en 30 fiches 1 Application Soit E la partie de R définie par : E = n− n+ 1 n 1 n ; n ∈ N∗ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Théorèmes liés au sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cinématique 3.2 Changement de référentiel 3.3 Lois générales de la mécanique 3.4 Oscillateurs 3.5 Mouvement d’une particule chargée 3.6 Systèmes de deux points matériels 88 88 90 91 95 98 99 4. Mécanique du solide 4.1 Cinématique du solide 4.2 Théorèmes généraux de la dynamique 4.3 Contacts entre les solides 101 101 103 104 5. Optique 5.1 Généralités 5.2 Optique géométrique 5.3 Interférences lumineuses 5.4 Interféromètre de Michelson 5.5 Autres dispositifs d’interférences 5.6 Diffraction des ondes

. . . . Théorème de Cantor-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule du crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème chinois pour les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . Inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morphismes de Sn dans × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critère de conjugaison des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Wilson

cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors 2kπ la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n. p=n p=n S= p=m sin px C= p=m cos px. 2kπ où k ∈ Z : Commençons par calculer les sommes suivantes ; On a pour t

2 3 4 5 n -1 Suites Page 6 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 4.2. Théorème Si (un) est une suite arithmétique, alors sa représentation graphique est constituée de points alignés. Exemple : 5 Représenter graphiquement la suite arithmétique de 4 premier terme u0 = -5 et de raison r = 2. 3 Équation de la droite obtenue ? 2 y = rx + u0 Ce théorème est une conséquence immédiate du fait que 1 toute suite arithmétique peut s'écrire sous la forme

Il est important de remarquer que la notation +∞ notation k=0 ak désigne une limite, la somme de la série. +∞ © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit • Puisque ak désigne une limite, il est impératif de justifier la convergence de la série pour pouvoir utiliser et k=0 manipuler cette notation. Proposition 1 Soit (an ) et (bn ) deux suites numériques qui différent d’un nombre fini de termes, i.e. telles que an = bn sauf pour un nombre fini de valeurs. Alors les séries