Théorème de convergence monotone

supérieures, 0 < e−t tx−1 ∼ tx−1 . Or, puisque x − 1 > −1, la fonction t → tx−1 est intégrable sur un voisinage de 0 et on en déduit que la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur un voisinage de 0. 1 • Quand t tend vers +∞, e−t tx−1 = o 2 d’après les théorèmes de croissances comparées. On en déduit que la t fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur un voisinage de +∞. Finalement ∀x ∈]0, +∞[, la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur ]0, +∞[. b. Soit x > 0. Soient ε et A deux réels tels que 0 < ε <

2 Intégrale impropres 27 2.1 La convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Intégrales impropres des fonctions à signe constant . . . . . . . . . . . . 28 12.2.1 Critère de la convergence majorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Critère d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Critère de la convergence dominée . . . . . . . . . . . .

que tout intervalle ouvert de la forme ] contient tous les termes 4. L’écriture de la suite à partir d’un certain indice [ , où est un réel quelconque, , c’est-à-dire que pour tout entier . Limites de suites usuelles Théorèmes :       √  Pour tout entier 5. Opérations sur les limites de suites Soit a. √ Pour tout entier Limite d’une somme et deux suites de nombres réels admettant une limite finie ou infinie. et

suite convergente et théorème fondamental ”la suite U = u n n converge vers L SSSI toutes les sous-suites convergent vers L SSSI les deux sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers L ” ; suites de limite nulle , théorèmes sur opérations et limites ; suites réelles divergentes vers ±∞ , extension des résultats sur opérations et limites ; théorèmes usuels sur ordre et limite notamment théorème de passage à la limite sur une inégalité et théorème d’encadrement ) ; théorèmes classiques sur les suites

Exo7 Suites 1 Convergence Exercice 1 Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication Correction Vidéo [000506] Exercice 2 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang. Indication Correction Vidéo [000519] Exercice 3 Montrer que la suite (un )n∈N définie par un = (−1)n + n’est pas convergente. Indication Correction Vidéo [000507] 1 n Exercice 4 Soit (un )n∈N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un

A, et s’ existe n0 tel que (An0 ) < +1 alors il ( 1 \ An ) = lim n=1 n!+1 (An ) . 3 1. 2. Mesure de Lebesgue sur R ([0; 1]) = 1, (B + a) = (B), 8B 2 B(R) et 8a 2 R. b réels, ([a; b]) = (]a; b[) = ([a; b[) = (]a; b]) = b a. Théorème 1 Il existe une unique mesure sur (R; B(R)), notée , telle que Elle est appelée mesure de Lebesgue sur R. Proposition 4 Pour tous a Si I est un intervalle non borné (I) = +1. 4 4.1 Fonctions mesurables Généralités Soient (X; A) et

mathématiques de disposer d'un lien vivant à l'expérimentation. On présentera de préférence, lorsque cela est possible, des méthodes constructives accompagnées de la description d'un algorithme plutôt que des démonstrations d'existence ou de convergence démunies de procédé de construction. La présentation des algorithmes s'entend sur deux niveaux. D'une part, ils peuvent être présentés sous une forme logique abrégée, sans référence obligatoire à un langage informatique particulier ; d'autre

6 Convergences 101 6.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.1.2 Caractérisation de la convergence en loi . . . . . . . . 102 6.2 6.3 6.4 6.5 Index 6.1.3 Approximation de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2.2 Convergence en probabilité

cette conséquence directe du théorème des valeurs intérmédiaires : proposition : soit f : [a, b] → R continue et strictement monotone. Si f(a)f(b) < 0 (c’est-à-dire si f(a) et f(b) sont de signe opposés), f s’annule une ln2 Par exemple, si b − a = 1 et p = 2, il suffit de 7 itérations, de 10 pour p = 3, de 14 pour p = 4, ... fois et une seule sur ]a, b[. exercice : on considère l’équation x4 + x − 1 = 0. On fixe donc f : [a, b] → R continue et strictement monotone telle que f (a)f (b) < 0, et

. . . . . . . . 11 2.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Limites et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .