Théorème de convergence monotone

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

n’est pas fini. 1.1.3 Théorème : Soit X un ensemble non vide, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) X est infini.  (ii) ∃ X0 ⊊ X, ∃ ψ : X0 → X bijective. 1.1.4 Définition : Un ensemble X non vide est dit dénombrable lorsque ∃ φ : ℕ → X bijective. X = φ(ℕ) = {φ(i), i ∈ ℕ}. Si X est dénombrable, alors X est infini (car ℕ est infini). ℕ est dénombrable.  1.1.5 Définition : Un ensemble non vide est dit au plus dénombrable lorsqu’il est fini ou dénombrable. 1.1.6 Théorème : Soit X un ensemble

quelconques 2. Variables aléatoires infinies discrètes 3. Couple de variables aléatoires discrètes 4. Variables infinies discrètes usuelles 197 197 200 206 208 9 Variables aléatoires à densité Convergences, approximations estimation 1. Généralités 2. Variables aléatoires à densité usuelles 3. Convergences et approximations 4. Estimation 217 217 221 227 230 Informatique 235 10 Éléments d’algorithmique 1. Le langage PASCAL 2. Exemples d’algorithmes 237 237 245 Index IV 253 Mode d’emploi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Suites 1 Limites de suites. . . . . . . . . . . . 2 Opérations sur les limites. . . . . . . 3 Limites et inégalités. . . . . . . . . . 4 Outils de comparaisons . . . . . . . . 5 Convergences de suites particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

d’inégalités sur un brouillon, en commençant par la conclusion désirée en bas et allant dans le sens inverse.) Par hypothèse, x < 1. =⇒ =⇒ (b) En déduire que pour tout n ∈ N, 0 ≤ un < 1. Prouver que la suite (un )n≥0 est décroissante. En déduire sa convergence. On note l sa limite. Solution. On procède par une récurrence. Pour n ∈ IN, soit Pn la proposition : 0 ≤ un < 1. Initialisation : Par définition, u0 ∈ [0, 1[ donc P0 est vraie. Hérédité : Supposons que Pn est vraie pour un certain n ∈ IN, c’est-à-dire

en général un élément de A et est caractérisée par les deux propriétés ∀x∈A x M ∀ε>0 ∃x∈A B M−ε < x M Convergence d’une suite réelle Définition Une suite (un )n∈N de réels est convergente si et seulement s’il existe un réel l vérifiant ∀ ε > 0 ∃ Nε ∈ N ∀ n Nε |un − l | ε Le réel l est alors unique et on le note l = lim un . n→+∞ Théorèmes sur les limites Toute suite convergente est bornée. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est

complexe. Il définit une fonction analytique dans un domaine comme une fonction d’une variable complexe qui admet une dérivée première continue dans son domaine, et établit qu’une telle fonction peut être représentée par une intégrale définie. Théorème de Cauchy : Soient une courbe fermée simple [pic] et une fonction [pic] holomorphe dans le domaine [pic] intérieur à [pic] et continue sur [pic]. Alors l’intégrale de [pic] le long de [pic] parcourue dans le sens positif est nulle. Ainsi, l’intégrale

proches de a en lorsqu'une fonction restant différentes de a. admet une limite, 2) Notation cette limite est unique. Notations : On illustrera graphiquement lim f ( x ) et lim f xa a a les notions introduites. • Connaître et utiliser les théorèmes sur les limites pour : • On étendra la notion de - Calculer une limite aux cas ci dessous limite, une limite à : droite et une limite - Limite finie à l'infini à gauche - Limite infinie en a fini - Lever une forme - Limite infinie à l'infini indéterminée

D – I.E – Montrer que : ∀(?, ?) ∈ ℳ? (ℝ)2 , ‖? × ?‖ ⩽ ‖?‖ ⋅ ‖?‖. Pour ? ∈ ℕ∗ et ? ∈ ℳ? (ℝ), comparer ‖? ? ‖ et ‖?‖ ? . II Séries entières de matrices Dans cette partie, on se donne une série entière à coefficients complexes ? ?? ? ? de rayon de convergence ? ?⩾0 strictement positif, éventuellement égal à +∞. II.A – +∞ Soit ℬ = {? ∈ ℳ? (ℝ), ‖?‖ < ?}. Montrer que l’application ? : ? ↦ ?(?) = ? ?? ? ? est définie et ?=0 continue sur ℬ. II.B – Soit ? ∈ ℳ? (ℝ) une matrice non nulle telle que ‖?‖ <