Théorème de convergence monotone

Lebesgue, je défends dans ce texte qu'il est utile et possible de respecter les fondements de la rationalité mathématique lorsqu'on aborde par les aires le chapitre Intégrale. Dans ce travail qui a pour ambition la démonstration de quelques théorèmes d'analyse élémentaire, ce chapitre a sa place au Lycée en terminale scientifique. Sans aller jusqu'au développement complet de la théorie de Riemann, il me semble que par le calcul des aires on peut construire de façon cohérente une intégrale qui

pour des fonctions continues par morceaux. Il est possible de généraliser cette construction à un certain type de fonctions bornées, définies sur des segments (on parle d’intégrale de Riemann ou d’intégrabilité au snes de Riemann) dont les fonction monotones font parties. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des fonctions définies sur un intervalle I qui ne sera pas un segment mais qui seront continues par morceaux sur tout segment inclus dans cet intervalle. Exemples : on rencontrera trois grand

peut-on déduire des deux questions précédentes ? (Mines de sup 2009, épreuve commune, extrait) Problème 2 Pour n ∈ N, on pose S n = n ∑ (−1)k , u n = S 2n et v n = S 2n+1 . k=0 k! Partie I : convergence de (S n ) 2 Q1) a) Montrer que (u n ) et (v n ) sont strictement monotones et que lim u n − v n = 0. Conclusion ? b) En déduire que la suite (S n ) converge vers une limite et que c) Montrer que ∀n ∈ N, |S n − | 1 3 1 < < 2. 1 . (n + 1)! d) À partir de quelle valeur de n est-on

Espaces probabilisés quelconques 2. Variables aléatoires infinies discrètes 3. Couple de variables aléatoires discrètes 4. Variables infinies discrètes usuelles 9 Variables aléatoires à densité Convergences, approximations estimation 1. Généralités 2. Variables aléatoires à densité usuelles 3. Convergences et approximations 4. Estimation 217 217 221 227 230 235 237 237 245 253 Informatique 10 Éléments d’algorithmique 1. Le langage PASCAL 2. Exemples d’algorithmes Index IV Mode d’emploi

et quantiles d’une loi 1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Principales lois de probabilités . . . . . . . . 1.2.5 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . 1.2.7 Convergence de suites de variables aléatoires 1.2.8 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . 2 Échantillonnage 2.1 L’échantillon aléatoire . . . . . . 2.1.1 Population de taille finie . 2.1.2 Expériences renouvelables 2.1.3 Modèle d’échantillonnage . 2

Measures . 2.2 Standard Spaces . . . . . . . . . . . 2.3 Some properties of standard spaces . 2.4 Simple standard spaces . . . . . . . . 2.5 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . 2.6 Extension in Standard Spaces . . . . 2.7 The Kolmogorov Extension Theorem 2.8 Extension Without a Basis . . . . . vii ix 1 1 1 6 8 13 19 21 21 22 26 29 31 36 37 38 45 45 48 54 61 61 61 64 67 77 80 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite (un )? La question 2. permet d’affirmer que la suite (un ) est minorée par 0 et la question 3. permet d’affirmer que la suite (un ) est décroissante. On peut donc appliquer le théorème de convergence monotone et affirmer que la suite (un ) est convergente. 5. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn = 4 un . Démontrer que (vn) est une suite arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme. En déduire, pour

fonctions 4.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Continuité des limites et des sommes pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ii 4.4 4.5 4.6 4.7 5 Table des matières Dérivabilité des limites et des sommes pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration des limites et sommes pour la convergence uniforme Exercices

= Q. Solution 1.1 ♠♠♠ Exercice 1.2 Montrer que le sous-ensemble X = {r ∈ Q | x2 < 2} de Q n’a pas de borne supérieure dans Q. Solution 1.2 ♠♠♠ Le but de ce chapitre est de donner les principales idées qui conduisent à la démonstration du théorème suivant. Théorème 1.1 Il existe un corps totalement ordonné R qui contient Q dans lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure. 3 1 | n ∈ N∗ n de 4 Le corps R des nombres réels Un tel corps est unique à isomorphisme près. On rappelle

qui est l’angle entre Ox et T , ϕ = i , T d’où, en paramétriques :         dx dx ds −  cos ϕ   ds   dt / dt  −  − sin ϕ  →  →  =     T :    dy  =  dy ds  et N :  sin ϕ / cos ϕ ds dt dt En polaires, on a : ϕ =θ+V Théorème : Avec les notations précédentes, on a : γ= dϕ ds R=  ds dϕ    .   dϕ − → −  cos ϕ  →  →  − sin ϕ × ds  qu’on dérive par rapport à s. D’où d T = γ − :  Démonstration : T :  N   ds dϕ sin ϕ cos ϕ × ds dϕ Ce qui donne immédiatement