Théorème de convergence monotone

Exercices - Séries numériques - étude pratique : corrigé Convergence de séries à termes positifs Exercice 1 - Quelques convergences - L2/Math Spé 1. On a limn→∞ n sin(1/n) = 1, et la série est grossièrement divergente. 2. Par croissance comparée, on a limn→∞ un = +∞, et la série est grossièrement divergente. On pouvait aussi appliquer le critère de d’Alembert. 3. On a : n2 un = exp 2 ln n − Il résulte de lim∞ ln n √ n √ √ ln n n ln 2 = exp − n ln 2 − 2 √ n lim n2 un = 0, . = 0 que

circulaire . . . . . . . . . . . . . . . Simplification de la structure des cycles . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . Préliminaires . . . . . . . . . . . Équilibre et acyclicité . . . . . Les théorèmes d’équivalences Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Un + 4 et donc 3 × Un+1+ 4 > 3 × Un + 4 soit Un+2 > Un+1 :Conclusion pour tout n ∈ IN Un+1 > Un , ce qui signifie que la suite ( Un) est croissante . ( 0,75 point ) c) La suite (Un) est une suite croissante et majorée donc d'après le théorème de la convergence monotone elle converge vers une certaine limite .( 0,5 point ) De plus comme Un+1 = f (Un) avec f( x) = 3 x + 4 et que f est une fonction continue sur IR+ , il en résulte que = f( ) , soit = 3 + 4 ,d'où ² = 3 + 4 soit ² – 3 – 4 = 0 ,équation

à valeurs dans Rn Chapitre 10 1 Définition des variables aléatoires réelles à densité 2 Moments d’une variable aléatoire à densité 3 Les lois usuelles Chapitre 11 Convergences 1 Convergence en probabilité 2 Lois des grands nombres 3 Convergence en loi 4 Convergence en loi et approximations classiques Chapitre 12 iv Variables aléatoires réelles à densité Estimation 1 Échantillons d’une loi de probabilité 2 Estimateurs 3

arguments qui la composent ; la pratique de la démonstration leur apprend à créer et à exprimer eux-mêmes de tels arguments. L’intérêt de la construction d’un objet mathématique ou de la démonstration d’un théorème repose sur ce qu’elles apportent à la compréhension-même de l’objet ou du théorème : préciser une perception intuitive, analyser la portée des hypothèses, éclairer une situation, exploiter et réinvestir des concepts et des résultats théoriques. Calculer, manipuler des symboles, maîtriser

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 11 12 8 4 Équations diérentielles stochastiques Théorème d'existence et d'unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques propriétés des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Dépendance par rapport à la condition initiale . . . . . . . . . 4.2.2 Caractère markovien de la

< (–1)n < 1 3 7 3 7 = 0. donc –  < un < . Or lim – = lim n → + ∞ n → + ∞ n n n n Le théorème des gendarmes (théorème 2) nous permet de conclure : lim un = 0. n → + ∞ 12 Pour tout entier naturel non nul n, –1 < (–1) < 1 n 5(–1)n 5 5 5 5 < et 2 – < un < 2 + . < n n n n n 5 5 Or lim 2 – = lim 2 + = 2. n → + ∞ n → + ∞ n n Le théorème des gendarmes (théorème 2) nous permet de conclure : lim un = 2. donc – 1 2 1 2 n → + ∞ 13 Pour tout

An+1 = An + I E(Xn+1 − Xn | Fn ). 4.3. Th´or`me d’arrˆt. Soit (Xn )n≥0 une surmartingale. On a donc, pour m < n, I e e e E(Xn | Fm ) ≤ Xm p.s. On va s’int´resser ` cette propri´t´ si l’on remplace m et n par des temps d’arrˆt . e a ee e ´ ` Theoreme 4.6. Soient (Xn )n≥0 une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) int´grable ou positive et ν1 et ν2 deux temps d’arrˆt born´s avec ν1 ≤ ν2 ; alors on a I e e e E(Xν2 | Fν1 ) = Xν1 , (resp. ≤, ≥). Preuve: Supposons d’abord que ν1

k=1 σ S f = supσ Sσ . La somme supérieure de Riemann de f est définie par : S f = infσ S f . f Définition. Une fonction f est Riemann-intégrable sur [a, b] si S f = S f . L’intégrale de f sur [a, b] est alors définie par : ab f (x) dx = S f = S f . Théorème. Une fonction f bornée est intégrable au sens de Riemann sur [a, b] si et seulement si pour tout ε > 0, il existe une subdivision σ de [a, b] telle que S f ≤ Sσ + ε. f σ 2 Propriétés de l’intégrale de Riemann Exercice 1 En utilisant la

1] , |xα (t) − xβ (t)| 2 |α − β| e2M (A)t 1 avec y(0) = a > 0 y Montrer que β = +∞. Exercice 14 Centrale MP [ 03739 ] [correction] On considère l’équation différentielle (E) : x (t) = cos (2π(x(t) − t)) a) Rappeler l’énoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz qui s’applique ici. b) Soit x une solution de (E). Montrer que x est lipschitzienne. c) Soit x une solution maximale de (E) et I = ]a, b[ son intervalle de définition. Montrer que I = R. d) Si x est solution maximale de (E)