Théorème de convergence monotone

. . . . . . . . 7.2.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . Convergence ou divergence d’une suite réelle . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Opération sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergence de suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Suites extraites . .

dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . . 1.2.3 Applications : dérivées partielles et dérivées . . . . . . . . . . 1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . 1.3.1 Théorème d’inversion globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Théorème d’inversion locale . . . .

rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n 1 Séries entières Rayon et domaine de convergence Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2 n 0 n 0 n 1 n 0 nn 3n z n! Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+ ∪ {+∞}. Déterminer le rayon de convergence de an z n . Exercice 2 [ 03054 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence de 2n

in´galit´ de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ee e e 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6 Th´or`mes de convergence e e 6.1 Rappel: Notions de convergence 6.2 Convergence presque sˆre . . . u 6.3 Convergence dans Lp , p > 1 . . 6.4 Convergence dans L1 . . . . . . 6.5 Loi 0 − 1 de L´vy . . . . . . . . e 6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . 39 39 40 42 43 46 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

déduit que, pour tout n ∈ 1 2 Æ, un = 8 − 5 × on sait que, pour tout n ∈ 1 n . 2 Æ, vn = 5 × 1 n . 2 4. a. Question de cours : prouver qu’une suite géométrique de premier terme v0 positif et de raison q comprise entre 0 et 1 est monotone. Soit n ∈ , on s ait que vn = v0 × qn , on a donc Æ vn+1 − vn = v0 × qn+1 − v0 × qn = v0 × qn × (q − 1) Avec, d’après l’énoncé, v0 0, q 0 donc qn 0 et 0 q On a donc vn+1 − vn 0 et la suite (vn ) est décroissante. b. Quelles sont les variations

questions 3a), 3b) et 3c) ne dépendent pas du fait que 0  u0  1 qui est supposé dans 2c) ● La suite  un n0 est strictement croissante (cf 2b) et est majorée par 1 (cf 2a) donc d’après le théorème de toutes les questions précédentes, ainsi le résultat reste inchangé. convergence des suites monotones, alors Ccl : La suite  un n0 est convergente. Ccl : n  , un  1  1  a  1/4 2 n E6 DST1 4h 2014-11-15 Correction.doc Exercice n° 2 Ccl : x  D f , f   x   1  9  x 1  x

Calcul de la prime d’une option européenne 1.5 Points essentiels du chapitre . . . . . . . . 1.6 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . 1.A Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.A.1 Preuve du Lemme 1.2.3 . . . . . . 1.A.2 Preuve du Théorème 1.3.2 . . . . . 7 7 8 10 11 11 11 12 12 12 15 15 16 17 17 19 19 20 21 21 22 22 22 23 23 24 24 25 25 25 26 26 27 29 31 34 35 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 75 Corrigés des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Table des matières CHAPITRE 4 • INTÉGRALES COMPLEXES ; THÉORÈME DES RÉSIDUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Rappels de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Énoncés des problèmes .

⇐⇒ f (x) < x Donc, pour tout x > 0, f (x) < x ; or, pour tout n, un > 0 donc f (un ) < un ce qui veut dire que un+1 < un . La suite (un ) est donc décroissante. 4. a. La suite (un ) est décroissante, minorée par 0, donc, d’après le théorème de la convergence monotone, la suite (un ) est convergente. b. On admet que la limite de la suite (un ) est solution de l’équation xe−x = x. On résout l’équation x e−x = x : x e−x = x ⇐⇒ x ( e−x − 1) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou e−x − 1 = 0 ⇐⇒ x = 0 ou e−x = 1 ⇐⇒ x = 0 ou

B LANCHENAY Sous la direction de : Hervé C RÈS Mai 2004 Table des matières Remerciements Introduction I Les problèmes généraux des scrutins I.1 I.2 Le théorème de Arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Manipulabilité et vote stratégique . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.A I.2.B I.3 I.3.A I.3.B Le théorème de Gibbard-Satterthwaite . . . . . . . . . . . Le sens du vote pour l’électeur . . . . . . . . . . . . . . . Complétude et transitivité . . . . . . . . . . . . . .