Théorème de la médiane

pour abscisse m = 1 et N a pour abscisse n = k. Donc : ON n unité n k = = = = k. OM m unité m 1 yN N (A ne pas confondre avec les coordonnées x M ; y M x N ; y N de M et N dans le repère du plan). ( ) ( ) et D’après le théorème de Thalès dans le triangle OKN (H et K yM = y M étant définis comme ci-contre), on a u J O I H xM = x K xN x N OK ON = = = k. x M OH OM Ainsi : x N = k × x M = k × x . De même : y N = k × y . On en déduit que les coordonnées de N et

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espaces anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sous-espaces anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Applications anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Théorèmes de Menelaüs et de Ceva dans le plan ane . Espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Espaces projectifs réel . . . . . . . . . . . 2.1.2 Axiomes d'incidence dans un plan projectif 2.1.3 Eléments à l'inni . . . . . . . . . . .

sous-populations 33 33 35 40 41 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 45 46 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité

nombreux caractères quantitatifs du monde réel suivent une loi normale : les tailles des individus, les poids, la pression sanguine, les notes à un examen, la durée de vie de certains composants, etc....Cette loi doit en grande partie son importance au théorème central limite qui nous dit en gros que la somme ou la moyenne de plus de trente variables aléatoires indépendantes qui suivent la même loi de probabilité suit approximativement une loi normale. La planche de Galton (considéré comme un des inventeurs

quatre questions apparaîtra d’office à l’examen : ✓ Enonce et illustre par un exemple numérique le théorème de Pythagore ou sa réciproque ✓ Enonce et illustre la propriété qui lie angle au centre et angle inscrit qui interceptent le même arc de cercle. ✓ Enonce et illustre la propriété qui lie des angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle. ✓ Enonce et illustre la propriété de la médiane relative au sommet droit d'un triangle rectangle Les autres questions de connaissances possibles

q) · n = i + (1 − q) · n n n i=1 i=1 q n(n + 1) q q = · + (1 − q) · n = (1 − 2 ) · n + 2 n 2 Si q = 1 alors M oyRS (n) = Si q = 1 2 n+1 2 3n+1 4 alors M oyRS (n) = 18 Exercice Ecrire un algorithme pour trouver la médiane de trois entiers. (Par définition, la médiane de 2k − 1 éléments est le k eme plus grand). – Combien de comparaisons fait votre algorithme en pire cas? – En moyenne? – Quel est la complexité de ce problème? 19 Exercice On veut déterminer si une suite binaire de longueur

vectorielle de Leibniz a les propriétés suivantes. Théorème 2.1. Soit (Ai , αi )1≤i≤n un système de n points pondérés de l’espace de masse m = −−−→ – Si m = 0, alors le vecteur V (M ) = n i=1 αi . −−→ αi M Ai est constant c’est-à-dire indépendant du point M . i=1 −−−→ – Si m = 0, alors il existe un unique point G de E vérifiant V (G) = 0. De plus, pour tout point O de E, on a n −−→ −→ 1 αi OAi . OG = m i=1 n Définition 2.4. L’unique point G du théorème 2.1 est appelé barycentre du système (Ai , αi )1≤i≤n

kxn knxn−1 4.1.3 Enoncés Théoreme 1 : Si f est dérivable sur un intervalle et si sa dé- Théoreme 2 : Si f est dérivable sur un intervalle, si sa dérivée rivée f est positive, alors f est croissante sur cet intervalle. f est négative, alors f est décroissante sur cet intervalle. On modélise dans un tableau de variations une fonction croissante sur un intervalle par une flèche montante et une fonction décroissante par une flèche descendante. Théoreme 3 : Soit f une fonction dérivable sur

−2 − ( −1) ) = 37 donc BC = 37 AC 2 = ( xC − x A ) + ( yC − y A ) = ( 0 − 5 ) + ( −2 − 5 ) = 74 donc AC = 74 2 2 2 2 2 2 2 2 Comme AB = BC = 37 le triangle ABC est isocèle en B 2 2 2 Comme AC = AB + BC = 74 d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 3. Calculer les coordonnées du point E milieu du segment [AC].  5 + 0 5 + ( −2 )  y + yC  x +x 5 3 donc E  ;  E A C ; A   donc E  2 ; 2  2  2 2  2  4. Calculer les coordonnées du

Les développements de l’Economie mathématique dans les années 50 et 60 ont donné à ce résultat le statut de « premier théorème de l’économie du bien-être ». Je donnerai l’intuition de ce théorème dont une lecture trop rapide conduit à recommander le désengagement de l’Etat dans l’Economie. Ma deuxième partie s’intéressera à la remise en cause de ce théorème. Le premier théorème de l’économie du bien-être repose en effet sur des hypothèses qui sont rarement vérifiées dans la réalité. C’est le point