Théorème des accroissements finis

Maths en Ligne Développements limités UJF Grenoble 1 1.1 Cours Polynômes de Taylor Commençons par rappeler deux résultats fondamentaux que vous connaissez déjà par cœur (si ce n’est pas le cas, dépêchez-vous de les apprendre). Théorème 1. • Pour tout x ∈ ] − 1, 1[ : 1 = lim 1 + x + x2 + · · · + xn . 1 − x n→∞ x2 xn x + + ··· + . n→∞ 1! 2! n! Le premier s’obtient à partir de l’identité : ex = lim 1 + 1 − xn+1 = (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn ) . Le second se déduit de la formule

déduit que (f g)(n+1) (x) = f (x)g (k) (x). k k=0 Donc (Pn+1 ) est vraie. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 5 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 EXERCICE 4 analyse Énoncé exercice 4 1. Énoncer le théorème des accroissements finis. 2. Soit f : [a; b] −→ R et soit x0 ∈ ]a, b[. On suppose que f est continue sur [a; b] et que f est dérivable sur ]a; x0 [ et sur ]x0 ; b[ Démontrer que, si f admet une limite en x0 , alors f est dérivable en x0 et f (x0 ) = lim f (x)

elle-même sous la forme de la cohérence ou de la non-contradiction (en logique). Universel/général/particulier/singulier : Une proposition est universelle quand elle vaut absolument pour tous les individus d’une classe considérée (loi de la nature, théorème mathématique, fait de nature) et quand elle a un caractère de nécessité (la gravitation, la mort, etc.). Au contraire, une proposition générale peut admettre des exceptions, en raison de son origine ou de sa forme empirique (idées, notions, règles)

des matières 1 Équations de conservation 1.1 Théorèmes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 Théorème de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de l’énergie, théorème de Bernoulli . . . . . . . . . . . . Forme générique

. . . . . 1 1 4 5 7 8 10 10 11 11 CHAPITRE II. Fonctions holomorphes II.1. Définition et propriétés fondamentales . . . . . . . . . II.2. Premières propriétés des fonctions holomorphes . . . . II.3. Séries de Laurent et Théorème de l’application ouverte . II.4. Le Théorème de Phragmen-Lindelöf . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

on peut ´crire (voir [ B.IV.1 ]) e B = ϕ(N) avec ϕ strictement croissante. N (xϕ(p) ) N (xϕ(p) ) Ainsi, ∀p ∈ N, 1 > > 0 et ϕ(p) − − +∞ donc −→ − − 0. −→ ϕ(p) N (xϕ(p) ) N (xϕ(p) ) p→∞ p→∞ Exemples : de comparaison de normes: voir [ 4.h ] ´ ´ `  Theoreme (Equivalence des normes en dimension finie) Toutes les normes sur un K-espace vectoriel de dimension finie E sont ´quivalentes. e D´monstration : e Si E = {0E }, il y a une seule norme sur E puisque N (0E ) = 0 pour toute norme. p Sinon, soit p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes stochastiques 77 3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99 3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 La loi du Chi deux . .

accords de façade pour soulager la douleur, non pour traiter la maladie. A force d’atermoiements – trop peu, trop tard – le risque commence à poindre qu’une crise de la dette grecque, largement à la portée des Etats membres de la zone euro, ne finisse par se transformer en crise bancaire européenne de grande ampleur avec des risques pour la stabilité financière internationale. On commence même à voir naître des doutes sur la capacité des Etats de la zone euro à appliquer les programmes de rigueur

sont les produits primaires de base (produits issus des industries agroalimentaires qui ont une influence positive sur l’économie de par les exportations), les produits énergétiques (pétrole : influence négative car importations), les produits semi-finis, les biens de production (machines) et les produits de consommation finale (vêtements, montres, etc.). Certains secteurs sont plus exposés que d’autres à la concurrence mondiale (acier, automobile, textile) alors que d’autres sont abrités (spatial

exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une «