Théorème du rang

partir d’un certain rang. • La suite u a pour limite +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ avec A réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. • La suite u a pour limite −∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ] − ∞, A[ avec A réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Quand la suite u a une limite réelle, on dit que la suite u converge. Dans le cas contraire, on dit que la suite u diverge. Théorème des gendarmes. Si

valeurs réelles, ou suites réelles. Si [pic], on parle alors de suites complexes. Pour [pic], l’ensemble des valeurs de la suite est [pic]. On dit qu’une suite est infinie si elle est indexée par un ensemble infini. [pic] est le terme de rang k. On s’intéresse dans ce chapitre à [pic] B) Opérations sur les suites réelles Soient [pic], [pic]. [pic] désigne la suite réelle w définie par : [pic] [pic] désigne la suite réelle h définie par :

. . . . . . . . . . . . 1.1.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . 1.1.3 Espaces de Thom . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Complexes et paires de Poincaré . . . . . . 1.1.5 Application de transfert . . . . . . . . . . . 1.2 Quelques théorèmes d’existence de plongements . . 1.2.1 Plongement en grande codimension . . . . . 1.2.2 Plongement de Poincaré . . . . . . . . . . . 1.3 Quelques conditions nécessaires . . . . . . . . . . . 1.3.1 Obstruction rationnelle à l’immersion . . . . 1.3.2

Correction exercice 26 Exercice 27. Soit l’application linéaire dont la matrice dans les base canonique de ( ) 1. Déterminer une base du noyau de . 2. Déterminer une base de l’image de . Quel est le rang de Allez à : Correction exercice 27 ? Exercice 28. Déterminer le rang de la matrice ( ) Allez à : Correction exercice 28 Exercice 29. Soit la matrice de définie par : ( ) 1. Montrer que est inversible et calculer son inverse 2. En déduire , pour tout entier

membre. Par exemple :       x a 2 1 −3 y − 3z = a  2x + 0 5 1  y =  b . 5y + z = b ⇐⇒  z c 9 10 0 9x + 10y = c C’est très pratique car la matrice associée au système n’est autre que la matrice de ses coefficients rangés naturellement, les places vides étant bien sûr complétées par des zéros. ° ° ° Attention ! • En général, le produit de deux matrices n’est pas commutatif — c’est même pire que cela, car si le produit est défini dans un sens, il ne l’est généralement

est héréditaire, si lorsqu’on suppose que P(n) est vraie, alors forcément P(n+1) [le rang suivant] est vraie. △ Lorsque l’on suppose que P(n) est vraie, on parle d’hypothèse de récurrence. Exemple. 1 Soit un +1 = un + 1 : démontrons que la proposition P(n) « un ≥ 2 » est héréditaire. 2 Supposons donc qu’à un rang n, un ≥ 2 et montrons que sous cette hypothèse, c’est encore vraie au rang suivant. On a donc au rang n, un ≥ 2 donc 1 1 un ≥ 1 d’où un + 1 ≥ 2 cad un +1 ≥ 2 : donc P(n+1) est vraie

Dérivation 1 - Définition. Domaines de définition. 2 - Rappel de quelques formules. 3 - Applications de la dérivation : sens de variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B) Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques et limites. Le nombre e. 2 - Fonction logarithme de base a : définition, propriétés algébriques, limites

entier naturel non nul et on note : Mn ( ! ) : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n. Mn,1 ( ! ) : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne. Pour une matrice A de Mn ( ! ) , t A est sa matrice transposée, rang ( A) son rang et Tr ( A) sa trace. In : la matrice unité de Mn ( ! ) . S n ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn ( ! ) . An ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de Mn ( ! ) . S n + ( ! ) : l’ensemble

Définition : 1. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers +∞ ou encore qu’elle diverge vers +∞ si et seulement si tout intervalle ]λ; +∞[ (λ ∈ R) contient tous les termes de la suite (un ) à partir d’un certain rang n0 . On note alors lim un = +∞. n→+∞ 2. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers −∞ ou encore qu’elle diverge vers −∞ si et seulement si la suite (−un ) tend vers +∞. On note alors lim un = −∞. n→+∞ Remarque

Définition 1.1. Définition Une suite numérique est une fonction de  dans , définie à partir d'un certain rang n0. La notation (un) désigne la suite en tant qu'objet mathématique et un désigne l'image de l'entier n (appelé encore terme d'indice n de la suite (un)), terme que l'on pourrait noter u(n) mais l'usage en a voulu autrement. Exemples : · Suite définie en fonction du rang (du type un = ¦(n)) : un = 1 , pour n  1 n u1 = 1 ; u2 = On obtient : 1 1 etc ... ; u3 = 2