Théorème du rang

numériques sont les mêmes qui pour les fonctions. m M 3 - Théorèmes Quand on mêle variation et extrema, cela donne ça. Théorèmes : Trois théorèmes. – Toute suite croissante et majorée converge. – Toute suite décroissante et minorée converge. – Soit un une suite définie par un+1 = f (un ). Alors, si un converge vers la limite l et si f est continue, alors l est solution de l’équation l = f (l). 7 www.mathsbook.fr Les deux premiers théorèmes se comprennent très bien. Le premier par exemple. Prenez

i−1 j=1 On a le Théorème : La somme Mi est directe ssi ∀i ∈ {2, · · · , 0}, Mi ∩ Mj = {0} Sous-espaces vectoriels supplémentaires Soient M et N deux sous-espaces vectoriels de E. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. E = M ⊕ N 2. E = M + N et M ∩ N = {0} 3. ∀x ∈ E, ∃!(x1 , x2 ) ∈ M × N, x = x1 + x2 On dit que M et N sont deux sous-espaces supplémentaires de E. 1 Projecteur Soit p ∈ L(E). On dit que p est un projecteur si p ◦ p = p. On a le Théorème : Si p est un projecteur

l’indiquer, on notera la variable n, au lieu de x, et on préfèrera alors parler d’indice ou de rang. Définition : Une suite numérique u est une fonction de u:n| dans . u(n) = un L’image u(n) sera plus simplement noté un. On l’appellera le terme de rang n ou d’indice n. La suite des termes un s’appelle u et elle est notée (un). On fera donc bien la distinction entre un qui représente le terme qui a un rang n quelconque et (un) qui représente tous les termes de la suite. La valeur du premier terme

Correction Vidéo [000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction Vidéo Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = 1 − t2 n (n) [000717] est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f

une valeur propre de A ? Réponse : Notons f l’endomorphisme de n K associé à A par rapport à la base canonique B de n K . Plusieurs méthodes sont possibles: 1ère méthode : vérifier que   1)(dim  nIdfKer K  en appliquant le théorème du rang à l’endomorphisme )( nIdf K  (sans calculer une base de )( nIdfKer K  ) 2ème méthode : vérifier que  nnIdfKer KK 0)(  (vérifier que le système                       0 0 )( 1  n n x x IA  admet une solution

solution non nulle. Voici 2 manières équivalentes de l'exprimer (cf. Chapitre "Calcul matriciel''). Proposition 12.2.2 Un scalaire est valeur propre de la matrice et seulement si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée. 1. Le rang de la matrice 2. Le déterminant de la matrice Si si est strictement inférieur à . est nul : est une valeur propre, l'ensemble des vecteurs tels que , est un sous-espace vectoriel. Par définition, il contient le vecteur nul, et

composition interne Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 11. Matrices 7 7 7 7 8 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . Rang d’une matrice . . . . . . . . . . Généralités sur les matrices carrées Matrice d’une application linéaire . Matrice de Passage . . . . . . . . . . Changements de base . . . . . . . . Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

numérique toute fonction numérique définie sur sur l’ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 . a  Notations » ou La suite est notée respectivement (un )n ∈» ou (un )n ≥ n ou plus simplement (un ). 0 Le terme de rang n est noté un . b) Vocabulaire Définition Soit (un ) une suite définie sur l’ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 . On dit que : z la suite (un ) est croissante si pour tout n ≥ n0 , un +1 ≥ un ; z la suite (un )

QUELQUES THEOREMES D'ANALYSE ELEMENTAIRE LIAISON LYCEE - UNIVERSITE LEIBNIZ Gottfried Wilhelm , 1646-1716 Daubelcour Jean-Pierre IREM de Lille 1 SOMMAIRE PREFACE CHAPITRE I : LES NOMBRES REELS COMME DEVOPPEMENT DECIMAL ILLIMITE. CHAPITRE II : LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS . CHAPITRE III : CONTINUITE D'UNE FONCTION DE LA VARIABLE REELLE. CHAPITRE IV : PROPRIETES DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE DE R. ( La dichotomie : outil de calcul et de démonstration) CHAPITRE V : COMPLEMENTS

 0∈]−2;+∞[. D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire des valeurs intermédiaires), l’équation f′(x)=0 possède une unique solution x0.   4. a. On en déduit donc que : – sur [0;x0] ,f′(x)≤0 donc f est décroissante – sur [x0;+∞[, f′(x)≥0 donc f est croissante   f(0)=−2. Or f est décroissante sur [0,x0]. Par conséquent, pour tout x∈[0,x0], f(x)0   Sur l’intervalle [x0;+∞[, f est continue et strictement croissante. f(x0)0. 0∈[f(x0);f(2)] D’après le théorème de la bijection (ou corollaire