Théorème du rang

fonctions de variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l’étude des limites en +. Rappelons en particulier deux résultats essentiels. _ Le théorème de limite monotone, assurant la convergence de toute suite croissante majorée et de toute suite décroissante minorée. _ Le théorème d’encadrement, assurant la convergence vers le réel l de toute suite à valeurs dans R minorée et majorée par deux suites respectives de même limite l. Si les principes de base

conséquent Pour tout entier Donc , donc la suite est bornée. donc 3. Limites d’une suite a) Suite Exemple : . est une fonction rationnelle. Or en plus haut degré. Donc : Théorème : si alors . une fonction rationnelle a même limite que le quotient de ses termes de On dit que . . b) Suites géométriques Théorème : soit      Si Si Si 0 Si Si vers un réel non nul alors la suite est croissante et alors la suite est constante et alors la suite est décroissante et alors la suite n’est

propriétés de ce produit et les applications. Structure d’algèbre sur n ( ). • Étudier les matrices carrées inversibles : le groupe GLn ( ). • Étudier les formules du changement de bases pour les vecteurs et les applications linéaires. • Définir le rang d’une matrice, les opérations élémentaires sur une matrice (interprétation en terme de produit matriciel). Méthodes de Gauss et de Gauss-Jordan. Sommaire I) Matrices, liens avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1)

en dimension finie : Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même dimension. D19 4 COURS MPSI 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERREOL 09/10 VI) THÉORÈMES DE LA RESTRICTION, THÉORÈME DU RANG. 1) Théorème de la restriction. TH (de la restriction) : la restriction d’une application linéaire à un supplémentaire de son noyau définit un isomorphisme de ce supplémentaire sur son image, autrement dit G → Im (f) x → f (x) si (H)

ROC 1  (au programme) Théorème Soit u n  et v n  deux suites telles que u n  v n à partir d’un certain rang  Si n lim u n   alors n lim v n  .  Si n lim v n   alors n lim u n  . Prérequis Soit u n  une suite On dit que la suite u n  tend vers  lorsque tout intervalle de la forme A;  contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Question Soit u n  et v n  deux suites telles que u n  v n à partir d’un certain rang et n lim u n  

On a donc le résultat suivant. Théorème 26.1 Une série à termes positifs un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est majorée. En cas de divergence, on a lim Sn = +∞. n→+∞ Dans le cas des séries à termes positifs, on écrira un < +∞ pour signifier que cette dernière converge. Cette notation étant justifiée par les considérations précédentes. En cas de divergence, on a un = +∞. 26.2 Les séries de Riemann Théorème 26.2 Soit α un réel. La série de Riemann

dans l’ensemble de définition de f à partir d’un certain rang. Si (un )n∈N converge vers a et si f admet une limite ℓ en a, alors la suite f (un ) Si (un )n∈N converge vers a et si f est continue en a, alors la suite f (un ) n∈N n∈N converge vers ℓ. converge vers f (a). 3) Convergence et relation d’ordre a) Passage à la limite dans une inégalité Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes telles que, à partir d’un certain rang, un ≤ vn , alors lim (un ) ≤ lim (vn ). Attention

Combinaison linéaire - Système générateur IV- Système libre - système lié V- Ordre et rang d’un système de vecteurs VI- Base d’un espace vectoriel VII- Espace vectoriel de dimension fini Chapitre 2 : Applications linéaires I- Définitions et généralités II- Opérations sur les applications linéaires III- Image et image réciproque IV- Noyau et image d’une application linéaire V- Applications linéaires injectives et surjectives VI- Rang d’une application linéaire Chapitre 3 : Matrices I- Généralités (définition

dans un ensemble E, dès lors que celui-ci est muni d’une « addition ». On an . peut en particulier, lorsque (an ) est une suite à valeurs dans un K-espace vectoriel, introduire la série • Il arrive qu’une suite (an ) ne soit définie qu’à partir d’un rang n0 . La série de terme général an est alors   n  k=n0 ak  . n n0 Généralités Définition 2 Soit (an ) une suite numérique. On dit que la série an est convergente (ou qu’elle converge) lorsque la suite (Sn ) des sommes partielles

vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . Famille Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases . Existence de Bases ( en dimension nie ) . . . . Les Théorèmes Fondamentaux sur la Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 18 20 21 23 24 2 3.7 Somme, Somme directe, Sous-Espaces