Théorème du rang

qu'il est divisible par 5.  On va se servir de quatre méthodes différentes.      1ère Méthode : par récurrence  Pour  : vraie  Supposons que la relation soit vraie au rang , soit :   Démontrons qu'elle est vraie au rang , soit  est un multiple de 5.  On a   . Cette dernière expression montre que la relation est vraie au rang .  Le principe de récurrence permet de conclure.      2ème méthode : les congruences  On étudie les valeurs possibles pour le reste dans la division euclidienne de  par

famille qui est obtenue en remplaçant dans G l’un des vecteurs par est donc génératrice, ce qui est bien ce que demandait le lemme. Corollaire : le nombre d’éléments d’une famille libre est toujours inférieur ou égal à celui d’une famille génératrice. Théorème 1 : les bases (finies) d’un espace vectoriel (s’il y en a) ont toutes le même nombre d’éléments. Définition : la dimension d’un espace vectoriel ayant au moins une base finie est le nombre d’éléments de cette base : Un espace vectoriel n’ayant pas

ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. A propos de l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux » du théorème de convergence normale d’une série de Fourier… Pour toute fonction f :  → , continue par morceaux et de période 2π , on associe ses coefficients 1 2π de Fourier exponentiels définis, pour n ∈ Z, par c n ( f ) = f (t ) e −i n t dt et ses coefficients

Lorsque F=K on parle de forme n-linéaire. Lorsque n=2 (resp. n=3) on parle d'application bilinéaire (resp. trilinéaire). Exemple 5.2 (Forme bilinéaire canonique)   Soit E un K- espace vectoriel , son dual . L'application est bilinéaire. Théorème 5.3   L'ensemble des applications n-linéaires de dans F est un K- espace vectoriel noté . Remarque 5.4   Ne pas confondre et (l'espace des applications linéaires de l'espace vectoriel produit dans F). Travail 5.5   Soient E1, E2, E3 et F des

arguments qui la composent ; la pratique de la démonstration leur apprend à créer et à exprimer eux-mêmes de tels arguments. L’intérêt de la construction d’un objet mathématique ou de la démonstration d’un théorème repose sur ce qu’elles apportent à la compréhension-même de l’objet ou du théorème : préciser une perception intuitive, analyser la portée des hypothèses, éclairer une situation, exploiter et réinvestir des concepts et des résultats théoriques. Calculer, manipuler des symboles, maîtriser

la présentation, nous supposerons que les suites considérées vérifient des hypothèses que nous énoncerons à partir du rang n = 0. Toutefois, nous laissons le soin au lecteur de vérifier que presque toujours, les conclusions des propositions demeurent, même si ces suites ne sont supposées satisfaire leurs hypothèses qu’à partir d’un rang N ∈ N arbitrairement fixé. IV.1. Le théorème des gendarmes Notre premier résultat va nous montrer que la notion de limite est compatible avec la relation d’ordre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 34 34 1 1 SUITES Fiches de Mathématiques 1 1.1 Suites Rappels sur les suites Variations d’une suite ∗ La suite (un )n∈ est croissante à partir du rang n0 si et seulement si, pour tout n n0 , un+1 nn . ∗ La suite (un )n∈ est décroissante à partir du rang n0 si et seulement si, pour tout n n0 , Un+1 Un . ∗ Une suite (un )n∈ est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. Etude du sens de variation d’une suite ∗ Etude du signe de un+1 − un

probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Triangle de Pascal - Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . 26 Ce document a été réalisé à l’aide de LATEX2", un lociciel libre. 1 1 Analyse 1.1 Limites et ordre Théorème 1 Limites et ordre 1. Théorème des « Gendarmes » Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a : u(x) 6 f (x) 6 v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors : lim x!a f (x) = l 2. Cas d’une limite infinie Si, pour x « assez voisin de a »on

Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Triangle de Pascal - Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . ∗ A Ce document a été réalisé à l’aide de LTEX 2ε , un lociciel libre. 1 1 Analyse Théorème 1 Limites et ordre 1. Théorème des « Gendarmes » Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a : u(x) f (x) v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors : lim f (x) = l x→a 1.1 Limites et ordre 2. Cas d’une limite infinie Si, pour x « assez

statistique discrète Dans ce cas, on dispose d'une famille de réels x1 ; x2 ; ... ; xN que l'on a rangé dans l'ordre croissant : x1  x2  ...  xN (Certains de ces réels peuvent être confondus) Vocabulaire : x1 s'appelle le terme de rang 1 (ou d'indice 1), xi le terme de rang (ou d'indice) i (1  i  N) N représente l'effectif total. On note (xi )1iN cette famille de réels qu'on appelle encore "série statistique". Exemples : L'élève A a obtenu les 8 notes suivantes : x1 = 5 x1 = 2 x1 = 6 x1 = 0 x2 =