Théorème fondamental de l'algèbre

Mr HAMADA  ‐ Prof Principal     Chapitre 2                                         Problèmes du 1er degré et                                                              Problèmes du 2ème  degré   I –Problèmes du 1er  degré ‐ Equations du 1er  degré – Inéquations du 1er  degré    1   On procède de la manière suivante pour la résolution d’un problème   1 – On détermine l’inconnue  2 – On ramène le problème à la résolution d’une équation (inéquation) du 1er  degré à une inconnue    3 – On résout 

bx + c = 0 . • La représentation graphique de tout polynôme du second degré ax 2 + bx + c est une parabole admettant un axe de b symétrie d’équation x = − . 2a ( ) III) Equation ax 2 + bx + c = 0 , factorisation du polynôme ax2 + bx + c Théorème : Soit le polynôme ax 2 + bx + c , a ' 0 de discriminant ∆ = b 2 − 4ac . Signe de ∆ Résolution de l’équation ax 2 + bx + c = 0 . L'équation n'a pas de solution. On dit que le trinôme n'a pas de racine. L’équation admet une seule b solution x0 = −

avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine) P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité. Théorème et définition Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme : P(x)=a(x−α)2+ β avec α=− b 2a et β=P(α) Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme P. Exemple Soit P(x)=2x2+4x+5 α=− b 2a =− 4 2×2 =−1 β=P(α)=P(−1)=2×(−1)2+4×(−1)+5=2−4+5=3

Les fonctions polynômes du second degré I. Définitions et notations 1. Nombres entiers naturels Une fonction polynôme est une fonction qui s’écrite sous la forme de avec , et . Exemples : Les fonctions suivantes sont des fonctions polynôme du second. a. avec et . b. avec , et . c. avec , et d. avec , et e. avec , et . 2. Rappel sur l’étude d’une fonction   du second degré Domaine de définition : Toutes les fonctions polynômes de degré deux sont définies

2a Propriété : • Le réel b 2−4 a c , noté Δ et est le discriminant du trinôme a x 2+ b x+ c 2 b a x+ − Δ 2 est la forme canonique du trinôme a x 2+ b x+ c • 2a 4a (( ) ) Démonstration : Exemple : 2) Résolution de l'équation a x ² + b x + c = 0 Théorème : • Si Δ < 0 , l'équation a x 2+ b x+ c=0 n'a aucune solution b • Si Δ =0 , l'équation a x 2+ b x+ c=0 admet une solution double : x 0=− 2a • Si Δ > 0 , l'équation a x 2+ b x+ c=0 admet deux solutions : x 1= −b− √Δ −b+ √ Δ et x 2= 2a 2a Démonstration

Fiche BAC S 03 Term. S Théorème des valeurs Intermédiaires (th.v.i.) Exercice n°1. [RÉSOLU] On considère la fonction définie par : f (x)= x 3+ x 2 −5 x+4 1°) Calculer la dérivée de f ainsi que les limites aux bornes de Df. En déduire le le tableau de variation de f sur ℝ . 2°) Montrer que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α∈ℝ . 3°) Donner un encadrement puis une valeur approchée, arrondie à 10–2 près, de α . 4°) Déduire des résultats précédents le signe de f (x) sur ℝ ------------

Fonctions polynômes du 2nd degré Définition : Une fonction f définie sur R est une fonction polynome du 2nd degré s’il existe des réels a, b et c (a≠0) tel que pour tout réel x∈R f(x)=ax^2+bx+c "(Forme développée)" Exemple : Soit x∈R f(x)=5x^2+3x+6  Polynôme du 2nd degré g(x)=x+1  1er degré h(x)=5x^3+3x+6  3ème degré f(x)=ax^2+bx+c f(x)=a[x^2+b/a x]+c x^2+b/a x+b²/4a²=(x+b/2a)² f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x

: a x b a a + æ è ç ö ø ÷ - æ è ö 2 4 ø 2 2 D = 0 qui s’écrit encore : x b a + æ è ç ö ø ÷ 2 2 = D 4 2 a (S) Dans cette dernière expression, tout est positif sauf D, ce qui nous permet d'énoncer le théorème suivant : Théorème 1 Si D < 0 : l’équation n’a pas de solution réelle. Si D = 0 : l’équation a une seule solution x0 = - b 2a . On dit que cette solution est double. Si D > 0 : l’équation possède alors 2 solutions réelles : x1 = - b - a D 2 et

Généralités sur les polynômes- Equations et Inéquations du 2nd degré I- Généralités sur les polynômes Une fonction polynôme est une fonction numérique qui peut s’écrire sous la forme f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ……… + a1x + a0 Où a0, a1, a2, ……… an sont des nombres réels donnés appelés coefficients. x est la variable. Si an ≠ 0 le polynôme est de degré n Exemple: f(x) = (x+1)2 + (x-1)2 + x4 f(x) = x4 + 2x2 + 2 C’est un polynôme du 4ème degré. Le coefficient de

I - Second degré Résolution d'équation du second degré Signe de ax²+bx+c Factorisation d'un polynôme du second degré Calculatrice et second degré I 5 6 7 7 A. Résolution d'équation du second degré 1. Résolution de l'équation ax²+bx+c=0 Définition Pour résoudre l'équation ax²+bx+c=0 on calcule  b −4 a c 2 Si 2 b −4 a c est positif on a alors deux solutions possibles : 2 2 - b−  b −4 a c ou - b b −4 a c x 1= x 2= 2a 2a   Si Si 2 b −4 a c est égal à 0 on a