Théorèmes de point fixe

Université Joseph Fourier – Grenoble 1 Licence 1ère année Cours de mécanique du point 2007 -2008 5ème édition Vr d dr dVr M r d O rd Gilbert VINCENT http://pagesperso-orange.fr/physique.belledonne/ Avertissement. Les figures doivent être à gauche (pages paires) en regard des pages correspondantes (impaires), situées à droite, qui supportent le texte. Les figures ne sont pas référencées dans le texte, mais dans la quasi totalité des cas, elles correspondent au texte

entier fixé et f : R+ = [0, +∞[−→ R la fonction définie par la formule suivante : f (x) = 1. 1 + xn , x ≥ 0. (1 + x)n (a) Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f (x) pour x ≥ 0. (b) En étudiant le signe de f (x) sur R+ , montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on déterminera. 2. (a) En déduire l’inégalité suivante : (1 + x)n ≤ 2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ . (b) Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a (x + y)n ≤ 2n−1 (xn + yn ). Correction [000739] 1 2 Théorème de Rolle

= x2 cos , si x = 0 x f1 (0) = 0; ; 1 f2 (x) = sin x · sin , si x = 0 ; x √ |x| x2 − 2x + 1 f3 (x) = , si x = 1 ; x−1 Indication Correction f2 (0) = 0; f3 (1) = 1. Vidéo [000698] Exercice 4 Soit n 2 un entier fixé et f : R+ = [0, +∞[−→ R la fonction définie par la formule suivante : f (x) = 1. 1 + xn , x (1 + x)n 0. (a) Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f (x) pour x 0. (b) En étudiant le signe de f (x) sur R+ , montrer que f atteint

dont l’aire est égale à l’aire du rectangle ABCD. Justifier la dernière affirmation du texte. Les solutions proposées par deux élèves Elève 1 : Je fais une figure avec 4 cm et 7 cm et je vais démontrer que l’aire du carré vaut 28 cm2. Avec le théorème de Pythagore dans le triangle BAF j’ai : BF 2 = AB 2 + AF 2 = 49 + 4 Donc : BF 2 = 53 , BF = 53 = 7,28 . Dans le triangle rectangle EBG, j’ai : GB 2 = EB 2 + EG 2 , 7,28 2 = 25 + EG 2 . J’obtiens EG = 5,29 donc l’aire du carré est 27,98. Les deux

jimdo.com [1] SERIE 3 : ENERGIES POTENTIELLE ET MECANIQUE Remarque : Dans cette série, il est possible de résoudre certains exercices avec le théorème de l’énergie cinétique, seulement il est clair que le but est de nous familiariser aux théorèmes relatifs à l’énergie mécanique. EXERCICE 1 : ENERGIE POTENTIELLE ET ETAT DE REFERENCE Un objet de masse m est initialement à l’altitude Z0 repéré sur un axe vertical orienté vers le haut. On

2013-14 FLUID - Physique et Dynamique des Fluides D. Le Touzé – I. Calmet Centrale Nantes Rappels sur les théorèmes de transport (cf. MMC) Volume de contrôle fixe S2 Vf Notation: V f volume de contrôle figé dans l'espace S1 S f surface de contrôle = enveloppe Sf Volume de contrôle matériel Notation: V m (t) se déplace avec le fluide Chaque point de S m est une particule fluide V m (t 2 ) V m (t1) S m (t1) Volume de contrôle arbitraire dont le déplacement

rectangle . Sa représentation est une surface S dans l’espace muni du repère Analyse03/A-U :2014-2015 de . Page 1 On partage D en sous-rectangles, dans chaque sous-rectangle M(x,y) et on calcule l’image de (x,y) pour la fonction f. on choisit un point La somme des volumes des colonnes dont la base est des sous-rectangles et la hauteur f(x,y) est une approximation du volume compris entre le plan Z=0 et la surface S. Lorsque le quadrillage devient suffisamment « fin » pour que la diagonale de chaque

donc i(1, 0, 0), j(0, 1, 0) et k(0, 0, 1). Théorème Dans l’espace R3 muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k). La norme d’un vecteur u(ux , uy , uz ) vaut : u = 2 2 2 ux + uy + uz Les opérations fondamentales sur les vecteurs se transposent simplement sur les coordonnées : u + v a pour coordonnées (ux + vx , uy + vy , uz + vz ) αu a pour coordonnées (αux , αuy , αuz ) Proposition Inégalité triangulaire : u + v ≤ u + v Théorème de Pythagore et sa réciproque : u et v sont orthogonaux

Résumé du cours d’optimisation. L. HALPERN 13 septembre 2005 2 Table des matières I Résultats théoriques 1 Résultats d’existence 1.1 Théorème de Weierstrass . . 1.2 Cas convexe . . . . . . . . . 1.3 Rappels de calcul différentiel 1.3.1 Dérivées premières . 1.3.2 Dérivées secondes . 1.3.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

stationnaires faiblement compressibles dans un domaine borné avec des conditions au bord de type "rentrante-sortante". Nous étudions aussi le problème d’écoulements stationnaires faiblement compressibles dans un coin convexe. En utilisant une méthode de point fixe (premier et deuxième problèmes) et une décomposition de Helmoltz (deuxième problème), nous montrons des résultats d’existence et d’unicité des solutions. Nous étudions également le cas d’un écoulement non stationnaire. Nous montrons un résultat d’existence