Théorèmes de point fixe

0 1 0 1 . 1 0 0 • Un produit de matrices peut être nul sans qu’aucune de ces matrices soit nulle. Par exemple :  1 0  Définition (Matrice identité) On appelle matrice identité de taille n la matrice In =  . . . 0 Théorème 0 1 . . . 0 1 0 1 0 = 0 . 0  0 0  .  carrée de taille n. . . ··· ··· .. . ··· 1 (Propriétés du produit matriciel) Sous réserve de compatibilité des formats : • Associativité : Soient A ∈ Mp,q

et x2 s’expriment de manière unique en fonction de x1 et − → − x2 ; on en déduit que (→ e1 , − e2 ) est bien une base, puisque le vecteur → x = (x1 , x2 ) est arbitraire. NOTES DU COURS DE MATHS 3 3 Représentation graphique. Théorème 1.4 (Résultat admis). Les bases de Rn sont les parties libres de Rn constituées d’exactement n vecteurs. On rappelle la définition suivante. →, . . . , − →} est une partie libre si pour Définition 1.5 (Partie libre). On dit que {− x x 1

propagation de l'onde). Vers 1750, Daniel Bernoulli pensait que toute solution peut s'obtenir comme superposition d'une série d'harmoniques, par exemple y(x,t) = ∑ bn sin n=1 ∞ nct nx cos dans le cas l l où les deux extrémités de la corde sont fixées. Or dans le cas où la position initiale est donnée par une condition y(x,0) = ϕ(x), ceci implique que ϕ(x) puisse se développer en série trigonométrique nx ∑ bn sin l . A l'époque, ceci paraissait impossible, l'argument principal étant par exemple

soit s’annule sur [ , ] b) une fonction dérivable sur soit la fonction dérivable sur alors ′( ) = a) telle que : c) ′ ( )= /{ } définie par : b) et ( )= c) 4) La transformation complexe du plan dans lui-même qui à tout point d’affixe on associe le point ’ d’affixe =− + + alors R est une rotation de centre I et d’angle avec : a) ≡ − [ [ ] = ] = − b) ≡− [ ] = − c) ≡ + EXERCICE N°2: 3pts Soit ( ) une suite positive, décroissante de limite nulle définie sur IN. Et soit (

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12.7. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 12.8. Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 12.9. Image d’un segment par une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 12.10. Caractérisation des fonctions

est : La courbe de f admet au point A(a, f(a)) une tangente dont le coefficient directeur est f ’(a). Une équation de cette tangente est : f (a + h) − f (a) h f ( x) − f (a) ou f '(a) = lim x →a x −a f '(a) = lim h →0 Illustration y = f '(a)(x − a) + f (a) Existence d’une tangente et dérivabilité La fonction racine carrée de même que les fonctions x ↦ xα avec 0 < α < 1 ne sont pas dérivables en 0. Leurs courbes admettent cependant une tangente verticale au point origine d’abscisse 0. 3 y=rac(x)

une intervention palliative de l’État au travers d’une politique d’allocation des ressources visant à assurer l’optimalité parétienne. (1) Ce résultat fondamental, version moderne de la « main invisible » d’Adam Smith, correspond au Premier théorème de l’économie du bien-être. Par la main invisible, Smith désignait le processus qui, en économie de marché, fait coïncider les intérêts individuels avec l’intérêt général. (2) Succinctement, les trois conditions à remplir sont l’efficacité de

fonctions objectifs et des contraintes essentiellement non linéaires. But du projet Il s’agira d’étudier un certain nombre de méthodes classiques basées notamment sur les gradients des fonctions à optimiser ; ces techniques seront analysées du point de vue de leur convergence et le candidat aura pour tâche de les mettre en oeuvre en les programmant, de les comparer et d’élaborer un outil graphique permettant d’illustrer le fonctionnement des méthodes itératives de manière didactique. Il fournira

imperfections de chaque mode de régulation que d’appréciations différentes de la facilité avec laquelle ces dernières peuvent être corrigées. D (1) Ce résultat fondamental, version moderne de la « main invisible » d’Adam Smith, correspond au Premier théorème de l’économie du bien-être. Par la main invisible, Smith désignait le processus qui, en économie de marché, fait coïncider les intérêts individuels avec l’intérêt général. (2) Succinctement, les trois conditions à remplir sont l’efficacité de l’échange

92 10 Triangle rectangle et cercle circonscrit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11 Distance – Tangente – Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12 Le théorème de Pythagore et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . 132 13 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 14 Cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle. . . . . . . . . . . 157 15 Pyramide – Cône de révolution