Théorèmes de point fixe

Politique économique de M. Vial Séance du 15/11/04 Automne 2004 Les théorèmes de Modigliani-Miller l’effet de levier, la valeur des actifs financiers et la relation entre économie réelle et économie financière A. Contenu des théorèmes Le théorème de Modigliani-Miller (1958) est l’un des jalons importants de la théorie des marchés financiers. Il en existe en fait deux, mais c’est le premier qui est le plus souvent cité. Théorème 1 : sous condition que les marchés fonctionnent parfaitement (marchés

absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sources d’erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Représentation des nombres en machine . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Notation à virgule fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Notation à virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Répartition des nombres à virgule flottante . . . . . . . . . . 2.4 Représentation machine des nombres réels . . . . . . . .

du cours Jean-Antoine Désidéri, INRIA Version compilée le 7 septembre 2009 2 Table des matières 1 Compléments d’Algèbre Linéaire 1.1 Disques de Gershgorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Théorème de Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation Polynomiale 2.1 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . 2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . 2.3 Forme de Newton . . . . . . . . . . 2

Enoncé du Théorème de Thalès : Partie directe : | | |[pic] | La partie directe du théorème de Thalès , nous permet de calculer une longueur si des droites sont parallèles. Réciproque du Théorème de Thalès : 1.Théorème (partie réciproque) : |[pic]

Dérivation 1 - Définition. Domaines de définition. 2 - Rappel de quelques formules. 3 - Applications de la dérivation : sens de variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B) Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques et limites. Le nombre e. 2 - Fonction logarithme de base a : définition, propriétés algébriques, limites

f (x) = ln x2 + 1 + x Exercice 3 [ 01783 ] [correction] Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 4 [ 00501 ] [correction] Soit f une fonction croissante de [0, 1] dans [0, 1]. a) Montrer que s’il existe x ∈ [0, 1] et k ∈ N tels que f k (x) = x alors x est un point fixe pour f . b) Montrer que f admet un point fixe. Calcul de limites Exercice 5 [ 01784 ] [correction] Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : √ √ √ 1+x− 1−x

Cours Mathématiques Ω R N T j O i M Calcul élémentaire de la courbure en un point birégulier − − →→ − → On considère la fonction angulaire associée ϕ qui est l’angle entre Ox et T , ϕ = i , T d’où, en paramétriques :         dx dx ds −  cos ϕ   ds   dt / dt  −  − sin ϕ  →  →  =     T :    dy  =  dy ds  et N :  sin ϕ / cos ϕ ds dt dt En polaires, on a : ϕ =θ+V Théorème : Avec les notations précédentes, on a : γ= dϕ ds R=  ds dϕ    .   dϕ

et sont donc exigibles. - Les ROC marquées  sont difficiles. - Lorsqu’une ROC est accompagnée de questions, il faut se laisser guider par ces questions. - Lorsqu’une ROC est déjà tombée au bac, ceci est indiqué I SUITES ROC 1  (au programme) Théorème Soit u n  et v n  deux suites telles que u n  v n à partir d’un certain rang  Si n lim u n   alors n lim v n  .  Si n lim v n   alors n lim u n  . Prérequis Soit u n  une suite On dit que la suite u n  tend vers

= tan φ statique principe fondamental de la statique Σ F ext = ⎯⎯→ théorème de la résultante statique ⎯⎯→ 0 pour un système matériel isolé principe fondamental de la statique théorème du moment statique Σ M ⎯⎯→ ⎯⎯→ Bxyz ( F ext ) = 0 ⎯⎯→ ⎯⎯→ tous les moments des résultantes appliquées au système matériel isolé doivent être définis au même point ( B ) changement de point d'expression d'un moment M B ( R ) = M A ( R ) + BA x R ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

LES FONCTIONS DÉRIVATIONS ET CONTINUITÉ I. Dérivation 1) Rappels : définitions Soit C une courbe Soit A un point fixé de C. La tangente T à C en A, si elle existe, est la position limite d'une courbe = (AM) lorsque M tend vers A. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Soit a un point appartenant à I. Si C admet un point d'abscisse à une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées, f est dite dérivable en a. Le coefficient