Théorème De Baire

Consid´rations e autour du Th´or`me de Baire e e Charles Navet Promoteur : Michel Willem 2008-2009 Consid´rations autour du Th´or`me de Baire e e e Travail ´crit et pr´sent´ dans le cadre du cours e e e MAT1381 - Projet personnel et s´minaire (Camille Debieve). e Tous mes remerciements vont au Professeur Michel Willem pour ses explications, son soutien et l’int´rˆt qu’il a port´ ce travail. e e e Table des mati`res e Introduction Pr´ambule e 1 L’axiome du choix 1.1 D´finitions

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∃M ∈ R : |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ B. 3) On se propose de montrer le théorème de Mackey suivant : un sousensemble B d'un espace de Banach E est σ(E, E )-borné ⇐⇒ B est norme-borné. Et on suppose que B est σ(E, E )-borné. a) On pose Fn = {f ∈ BE : |f (x)| ≤ n, ∀x ∈ B} où BE est la boule unité fermée de E . Montrer que ∪n≥1 Fn = E (utiliser 2)). b) Montrer qu'il existe n0 ≥ 1, ∃f0 ∈ E , ∃ > 0 tels que B(f0 , ) ⊂ Fn0 (utiliser le théorème de Baire). c) En déduire que x ≤ 2n0 , ∀x ∈ B. Rappelons que si 0 < p

. . . . Théorème de Cantor-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule du crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème chinois pour les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . Inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morphismes de Sn dans × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critère de conjugaison des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Wilson

. . 15 15 15 16 17 18 iii . . . . . . . . . . iv 4 5 6 7 8 COLLES DE MATHÉMATIQUES Quelques notions topologiques 4.1 Topologie générale . . . . . . 4.2 Compacité . . . . . . . . . . . 4.3 Connexité . . . . . . . . . . . 4.4 Théorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

forme «  f (x) vaut 1 si et seulement x est rationnel et sinon f (x) vaut 0 » est en effet tout à fait valable. ). Commentaires J’ai trouvé l’expression de f donnée ci-dessus dans [1] (page 54) où elle est attribuée à Giuseppe Peano et René Baire. Les élèves poursuivant des études scientifiques ont des chances de croiser à nouveau cette fonction f à cause de l’intégrale de Lebesgue qui est actuellement étudiée après le bac beaucoup plus couramment qu’elle ne l’a été : cette fonction f est

exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une «

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . grands th´or`mes de l’analyse fonctionnelle e e Le th´or`me de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Le th´or`me de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . e e Le th´or`me de l’application ouverte . . . . . . . . . . . e e Le th´or`me du graphe ferm´ . . . . . . . . . . . . . . . e e e Autour du th´or`me

. . . . . . . . 1 1 1 7 13 17 22 25 30 35 35 52 69 82 92 101 117 Dérivation 129 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications

Mesure et intégration (3-0-6) Objectifs : développer l’intégrale de Lebesgue et obtenir ses propriétés. Contenu : théorie abstraite de l’intégration. Mesures de Borel et théorème de représentation de Riesz. Espaces Lp. Mesures complexes et théorème de Radon-Niko­ dym. Intégration sur les espaces produits et le théorème de Fubini. Différentiation. MAT 714 3 cr. Sujets choisis en algèbre (3-0-6) 3 cr. Objectif : se familiariser avec un domaine de l’algèbre privilégié par des travaux