Théorème Hos

 Section 2: Le patrimoine, la notion de patrimoine. La loi ne définit pas le patrimoine, le droit positif n'a pas la même notion que l'opinion publique d'où risque de confusion! §1. Définition juridique du patrimoine. Dans le langage courant, le patrimoine d'une personne c'est sa fortune. En droit, le patrimoine est l'ensemble des rapports de droits qui sont appréciables en argent, ce sont les rapports de droit dans lesquels une personne est engagée soit positivement, soit négativement.

D ÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE L A DROITE DES MILIEUX Dans le triangle ABC ci-contre : A • le point I est le milieu du côté [AB], • le point J est le milieu du côté [AC]. On veut démontrer, prouver que la droite (IJ) est pa- I J rallèle à la droite (BC). Pour cela, placer sur la figure le point K, symétrique du point I par rapport au point J, C B et répondre aux questions suivantes : 1. a) Compléter le schéma de démonstration suivant : b) Compléter le texte suivant :

CONNAISSANCES, DES ATTITUDES ÉVALUÉES CAPACITÉS ▪ Lire et interpréter une représentation d’un solide. ▪ Isoler une figure plane extraite d’un solide à partir d’une représentation. ▪ Utiliser les définitions, propriétés et théorèmes mis en place dans les classes précédentes pour identifier, représenter et étudier des figures planes et des solides. ▪ Utiliser un tableur grapheur pour obtenir sur un intervalle la représentation graphique d’une fonction donnée. ▪

Le Principe de Peter Qui ne connaît pas l’histoire de Peter Pan, ce petit garçon à l’imagination débordante qui refuse de grandir ? On se demande d’ailleurs la raison qui le pousse à une telle résolution. On pourrait même croire que ce dernier connaissait d’ores et déjà les postulats de ce brave professeur américain qui partage le même nom à savoir Laurence J. Peter, spécialiste dans la psychologie et l’orientation, et qui figurent dans « Le Principe de Peter » livre qu’il a coécrit avec Raymond

peut-elle être réalisable ? Est-ce une raison pour ne plus chercher la vérité ? Quelle est l’utilité de la preuve et quelles sont les limites ? Cette exigence ne sera jamais réalisable car il faudrait démontrer tout ce qui existe, pas seulement nos théorèmes ou théories scientifiques mais aussi nos religions, nos principes, notre vision des choses. Mais ce n’est pas une raison de ne plus chercher la vérité mais nous n’arriverons jamais à ce point car il y a trop de chose sans explication et pas assez

des postulats. Ces propositions évidentes ou antérieurement démontrées (pour les postulats uniquement), alliées aux règles de la logique, permettent de parvenir à de nouvelles affirmations par déduction. Mais comme nous l’a démontré Gödel dans son théorème d’incomplétude, un système d’axiomes n’est jamais complet, c’est-à-dire qu’il n’est en aucun cas capable de démontrer toutes les affirmations vraies. Ainsi, si l’on se place dans le système axiomatique de la géométrie euclidienne, il n’existe pas

et de la bijection à l’aide des symboles :  Une application : ? = ? ⟹ ? ? = ? ? .  Une injection : ? ? = ? ? ⟹ ? = ? ?? ? ≠ ? ⟹ ? ? ≠ ? ? .  Une surjection : ∀??? ∃? ∈ ? ??? ??? ? = ? ? .  Une bijection : ∀??? ∃! ? ∈ ? ??? ??? ? = ? ? . Théorème : Une application est bijective ssi elle admet une réciproque. Pour la démonstration on utilise les deux lemmes suivants. Lemme 1 : si gof est injective alors f est injective. Lemme 2 : si gof est surjective alors g est surjective. IV. Relations

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1.1. Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et x ® -¥ lim ex = +¥ x ® +¥ Démonstration : · Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La

connaissances résultant de raisonnements logiques appliqués à divers objets, comme les nombres, les figures géométriques etc. Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport au réel. Un énoncé mathématique est généralement basé sur un théorème, une proposition ou une méthode de calcul, appelé démonstration ou raisonnement. L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au 17e siècle

suffisamment grand donc il en est de même pour un qui est toujours plus grand que vn. Or lim vn = lim n2 = + » , donc par comparaison, n Æ+» n Æ+» lim un = + ». 10 a) n  6 donc n – 6  0 Donc n3 + n – 6  n3 un  n3 b) D’après un théorème de comparaison, lim un = + » n Æ+» 11 a) Pour tout nombre entier naturel n, vn – n = (n2 – n – 1) n . Or, n2 – n – 1 est un trinôme du 1+ 5 1- 5 second degré dont les racines sont et 2 2 donc n2 – n – 1  0 à partir de n = 2. b)  lim