Variable aléatoire

......................................................................15 2- Loi normale centrée réelle : .........................................................................................................15 3- Fonction de répartition d’une variable normale continue réduite :..............................................15 4- Quelques relations à retenir : .......................................................................................................16 IILoi du khi deux (Khi carré) :

d'un modèle, les variations d'une variable, par exemple le rendement d'une réaction chimique, en fonction d'un certain nombre d'autres variables comme, la température et la quantité de catalyseur utilisées pour effectuer la réaction. On écrira la relation recherchée sous la forme suivante : Y = f ( X 1, X 2) où Y représente le rendement, X1 , la température et X , la quantité de catalyseur. Y sera 2 appelé la variable expliquée ou réponse et X1 , X2 les variables explicatives ou facteurs. f(X 1

le chiffre visible sur le dé. Par exemple, si le dé affiche un six, qui s’écrit avec les 3 lettres S-I-X, il gagne 3 euros. 1. (a) Soit X la variable aléatoire donnant le gain algébrique à une partie de ce jeu. Donner la loi de probabilité de cette variable aléatoire X dans le cas d’un dé parfaitement équilibré. (b) Calculer l’espérance de la variable aléatoire X. (c) Ce jeu est-il équitable ? favorable ? défavorable ? (d) Si George joue 100 fois, quel est le gain total qu’il peut espérer ? 2. George

Étant donné une série statistique double représentée par les variables x et y. Si on effectue les changements de variables suivants : et Comment se comportent les paramètres suivants : RESOLUTION : a) b) c) d) car r est un invariant Quelle est la probabilité qu’un joueur de poker recevant cinq cartes choisies au hasard parmi 32 cartes (4 as, 4 rois, 4 dames, 4 valets, 4 dix, 4 neuf, 4 huit et 4 sept) ait en main un carré ? (4 as ou 4 rois ou 4 dames ou 4 valets,…) RESOLUTION : Il aura donc 0

temps. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tranche d'une minute associe le nombre d'automobilistes arrivant au péage. La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  = 1. Le processus de Poisson se rencontre aussi dans les exemples suivants : appels à un standard téléphonique, arrivées de clients à une caisse, nombre d'erreurs sur une page de documents, pannes de machine, apparition de défauts sur des tissus… Loi de Poisson : La variable aléatoire X suit une loi de Poisson

probabilités et de statistique inférentielle ........................................3 Rappels sur les lois de probabilités Rappels sur les intervalles de confiance 5 7 II. Sondage aléatoire simple ...................................................................................11 Rappels sur le sondage aléatoire simple 16 III. Plans à probabilités inégales ............................................................................18 Rappels sur les plans à probabilités inégales 20 IV

EMPIRIQUES NON PROBABILISTES Échantillon aléatoire simple Échantillon de convenance Échantillon systématique Échantillon de jugement Échantillon stratifié Proportionnel Non proportionnel Échantillon boule de neige Échantillon en grappes Un niveau Plusieurs niveaux Échantillon par itinéraires Échantillon par quotas + Niveau de complexité - - Rôle du hasard + METHODES ALEATOIRES PROBABILISTES Echantillon aléatoire simple • Forme la plus élémentaire d’échantillon

réparation d’une panne « b » coûte 40 euros et la réparation des deux pannes coûte 100 euros. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque appareil, associe son coût de revient total. 1. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ? 2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 3. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 4. Que représente E(X) pour l’entreprise ?  Exercice 5 (6 points) Romain propose le jeu suivant à Maël

P(D) = PA(D)*P(A) + PB(D)*P(B) + PC(D)*P(C) Formule de Bayes : ( PA(D)*P(A) ) / ( P(D) = PA(D)*P(A) + PB(D)*P(B) + PC(D)*P(C) ) Chapitre 2 1) Variables aléatoires : Discrètes : X(Ω) fini ou fini dénombrable Continues : X(Ω) infini non dénombrable X(Ω) représente l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire X Loi de Probabilité : Si Pi = P(X=xi) représente la probabilité que X=xi pour chacune des valeurs possibles de xi ; alors (xi ; pi) constitue la loi de probabilité

jetons dans l'urne, avec remise entre les deux tirages, et on dénit le jeu suivant. On gagne 16 points si l'on obtient deux fois le jeton rouge, on gagne un point si l'on obtient deux fois le jeton blanc, et on perd 5 points sinon. X est la variable aléatoire correspondant au gain. (a) Représentez cette situation par un arbre pondéré. (b) Déterminez en fonction de n, la loi de probabilité de X . (c) Exprimez l'espérance de X en fonction de n. (d) existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles le