Variance

Paris 5 http://piaget.psycho.univ-paris5.fr/Statistiques/ Documents rédigés par R. Palm (au format Postscript) : http://www.fsagx.ac.be/si/NotesdeStatetInfo.htm 3 Programmes Analyse d'un protocole multinumérique. Nuage euclidien. Inertie et variance d'un nuage. Directions principales d'un nuage. Analyse en composantes principales. Description d'un tableau de contingence : effectifs, fréquences, taux de liaison. Coefficient de contingence. Analyse factorielle des correspondances. Analyse des

´ USUELLES LOIS DE PROBABILITE Dans cette note est faite une liste des lois de probabilit´e usuelles sur Ê — voire Ên — ou sur une de ses sous-parties ainsi que quelques unes de leurs propri´et´es (moyenne, variance, fonction caract´eristique). Qualifier ces lois de probabilit´e d’usuelles signifie qu’elles doivent ˆetre connues de tous et non qu’elles seraient les seules qu’on puisse rencontrer dans un probl`eme, un exercice et surtout dans une situation concr`ete. De nombreuses propri´et´es sont

service après-vente à huit dates différentes. On appelle X la variable aléatoire ayant pour valeurs les nombres de fois où ce client a dû subir un retard. a) b) c) Définir la loi de probabilité de X. Quelles sont l’espérance mathématique et la variance de X ? Calculer la probabilité de chacun des événements suivants - Le client a subi au moins un retard - Le client a subi moins de 4 retards

6 000 7 000 8 000 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 Application 1 p(X > 1) = 1 – p(X < 1) = Ύ 3e–3x dx 1 0 0 1 2 = 1 – ΄– e–3x΅10 = e–3 ≈ 0,05. 3 2. La partie grise correspond à la probabilité de l’événe- 3. Espérance et variance des lois uniformes et exponentielles 1 ment p(2 < X), graphiquement cette probabilité est . 2 Activité. Une simulation A. 1. L’espérance de la variable aléatoire Application 2 1. La formule entrée et étendue à 2 000 cellules réparties E(X) =

droite des moindres carrés Avec a : pente de la droite (ou coefficient directeur) Et b : ordonnéeà l’origine Deux possibilités pour calculer la valeur de a :   Si on effectue les calculs « à la main », on applique la formule : a = covariance (x,y) / variance x Si on effectue les calculs sur Excel, on utilise la fonction « droite reg ». Dans tous les cas, pour calculer la valeur de b, on applique la formule : b = moyde y – a x moy de x 2. La prise en compte de la saisonnalité : Pas de différence entre

résidus au seuil á. Le test de Jarque-Bera ne teste pas à proprement parler si les données suivent une loi normale, mais plutôt si le kurtosis et le coefficient d'asymétrie des données sont les mêmes que ceux d'une loi normale de même espérance et variance. On a donc: Le test statistique est donné par la formule : Avec ; n = Nombre d'observations k = Nombre de variables explicatives S = Coefficient d'asymétrie : Moment d'ordre 3 d'une variable centrée-réduite K = Kurtosis :

P(T≥-t) Réponse B 0 P(A ∩ B) P(A) 2P(T≤t) Q2 ≠ mode N(-12 ; -4) E(X) = 4 σ Réponse C P( A ) × P( B) P(A ∩ B) P(B) 2P(T≤t) - 1 P(X < 10) = 0,5 N(12 ; 2) E(X) = 16 variance V(X)0,5+V(Y)0,5 Choix Si L(X) = N(10 ; 3) P(7 ≤ X ≤ 13) = 1 Si L(X) = N(6 ; 2) alors L(-2X) = N(-12 ; 4) Si X suit une loi de Poisson de variance 4 Si L(X)=N(m; σ ) E(X) = Si X et Y sont indépendantes σ(X+Y) E(X) = 2 mode σ(X) + σ(Y) V ( X) + V ( Y) 4 Loi de Poisson P(λ) λ Probabilités individuelles

: (valeur inférieure, valeur supérieure, moyenne, écart type) Séquence : 3 , 4 , 3.35 , 0,1089 ) ) puis entrer Syntaxe de l'instruction : normalFrep(Valeur inf, Valeur sup, moyenne, écart type) Attention, le paramètre utilisé en terminale est la variance et non pas l'écart type. La probabilité qu'un bébé pèse à la naissance entre 3 kg et 4 kg est de 0,831. 2°) Probabilité des événements " <3" et " >4" Pour calculer P( <3) on peut saisir comme borne inférieure une valeur très petite 99 par exemple

| |[400;450[ |1 |425 |170 |28 900 |28 900 | |Total |20 | | | |157 000 | Variance : 157 000 / 20 = 7 850. Écart type : racine carrée de 7 850 = 88,60. 5. Commentez les résultats obtenus. Au cours du mois N, M. Jean a parcouru en moyenne 255 km par jour. La moitié des jours, il a parcouru moins de 262,5 km par jour

peut être structuré dans une matrice M à K lignes et N colonnes. Chaque variable aléatoire Xn = (X1, n, …, XK, n)' a une moyenne et un écart type óXn. Chaque composante est un vecteur propre de la matrice de covariance des données dont la variance est /\i . Les combinaisons des composantes expliquent le plus possible la variabilité entre les individus. Les composantes principales ne sont pas corrélées et rangées par ordre de l’importance. L'inertie expliquée par la i-ème composante principale