Variance

car il est considéré comme étant instable. Idée : Mettre plus de poids sur les valeurs extrêmes médiane et écart type . Définition : variance = S2 = moyennes des écarts a la moyenne, élevés au carré . Ex : Donnés = 5, 10, 12, 17 Somme = 44, moyenne = 11 Variance : 36+1+1+364 = 18,5. Cette valeur n’est pas interprétable. Écart type : S= variance Ex : S = 18,5= 4,3. Formule de calcul Xi | 5 | 10 | 12 | 17 | Somme = 44 | Xi - moyenne | -6 | -1 | 1 | 6 | 0 | (Xi – moyenne)2

valeurs de la série. II. Variance – écart-type Définition : On considère une série statistique dont les valeurs et les effectifs correspondants . La moyenne La variance L’écart-type Exemple : Exercice 21 page 160 On considère la série statistique suivante : Valeur du caractère 1,2 1,5 2 2,5 3 4 5 6 6,5 7 Effectif 11 18 56 84 43 31 29 35 7 2 Calculer la moyenne, la variance et l’écart-type de cette série statistique à près. Moyenne Variance L’écart-type s’exprime

Méthodes d’estimation Réduction de la variance Estimateur sans biais à variance minimale Estimateur sans biais à variance minimale Les notions d’exhaustivité et de complétude permettent de trouver un estimateur sans biais à variance minimale. Théorème de Lehmann-Scheffé Théorème Soit U un estimateur sans biais de q(θ). Soit T une statistique exhaustive complète alors l’estimateur h(T ) défini par h(t) = E(U|T =t ) est un estimateur sans biais pour q(θ) à variance minimale Fouad Marri, fmarri@insea

e−x dx = [−e−t ]a = 1 − e−a 0 R´ciproquemnt, a partir de la fonction de r´partition FX , on peut d´terminer la densit´ fX . e ` e e e Dans l’exemple 2, on a   0 si x ≤ 0 1/2 si 0 ≤ x ≤ 2 fX (x) =  0 si x ≥ 2 3.4. 3.4.1. Esp´rance et variance e Esp´rance e D´finition: e Soit X une v.a.r continue de densit´ de probabilit´ fX . On appelle esp´rance de X, not´e e e e e E(X), le nombre r´el, s’il existe, d´fini par e e +∞ E(X) = −∞ xfX (x)dx Remarque: Il peut arriver que l’integrale

3 La m´diane . . . . . . . . . . e 3.1.4 Le quantile . . . . . . . . . . 3.2 Les param`tres de variabilit´ . . . . e e 3.2.1 L’´tendue . . . . . . . . . . . e 3.2.2 L’intervalle inter-quartiles . . 3.2.3 L’´cart moyen . . . . . . . . . e 3.2.4 La variance . . . . . . . . . . 3.2.5 L’´cart-type . . . . . . . . . . e 3.3 Les param`tres de forme . . . . . . . e 3.3.1 Coefficient de sym´trie . . . . e 3.3.2 Coefficient d’aplatissement . 3.4 Les param`tres d’association . . . . e 3.4.1 Covariance . . . .

Chaque forêt étant composée de 1 000 arbres, il est inimaginable de tous les étudier. Il a donc fallu réaliser un échantillonnage mais pour que celui-ci soit représentatif d'une population, il se doit d'être supérieur ou égal à 30 pour obtenir une variance et une moyenne estimées utilisables. J'ai donc choisi un échantillonnage sur une base de 30 arbres. Il ne faut pas oublier que chaque forêt est divisée en 10 quadrats, il faut donc aussi varier les zones pour de meilleurs résultats

série continue, on prend le centre de classe comme valeur du caractère, c'est à dire le milieu de chaque intervalle. 2 - Variance et écart-type Définition 5: On appelle variance d'une série statistique dont les valeurs du caractère sont les effectifs correspondants sont , le nombre : et Dans l'exemple : Définition 6: On appelle écart-type d'une série statistique de variance V le nombre : Dans l'exemple : Remarque : L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus

discrète ». On peut écrire : pi = p ( X = xi ) . Espérance et variance d’une loi de probabilité discrète L’espérance d’une loi de probabilité discrète est donnée par : n E = ∑ xi pi i =1 Si l’on utilise la notion de variable aléatoire, on pourra écrire : E = E ( X ) . La variance d’une loi de probabilité discrète est donnée par : n V = ∑ ( xi − E ) pi 2 i =1 Avec la notion de variable aléatoire, on constate que la variance de la loi X n’est rien d’autre que l’espérance de la variable

chaque ´chantillon calculer Y , l’estimateur de la moyenne Y ainsi obtenu. e 2. V´rifiez que Y est un estimateur sans biais de Y . e 3. Calculer la variance de Y , directement et en utilisant les formules du cours. 4. Pour chaque ´chantillon possible, calculer sa variance corrig´e s2 . V´rifier que e e c e e 2 s2 est un estimateur sans biais de la variance corrig´e Sc de la population. c Exercice II.3. D’apr`s le livre “Exercices de sondage” de Dussaix et Grose bras 200 m´nages touristiques s´journant

unités de temps niveau α = 0.02 Est-ce qu’il y a égalité des variances Ampoules Lampwell Ampoules Bestlight n1 = 10 n2 = 16 s1 = 3000 s2 = 2000 Hypothèses statistiques : H0 : σ12 = σ22 H1 : σ12 ≠ σ22 Seuil de signification : α = 0.02 Conditions d’application du test : Échantillon provenant de deux populations normales de variances σ12 et σ22 La statistique qui convient pour le test est le rapport de deux variances. Cette quantité est, selon les conditions d’application et en