Variance

d’ordre β zβ tn;β χ2 n;β wn;m;β bn;p;β Comparaison d’un paramètre à une valeur de référence X1 , . . . , Xn est un échantillon de variables aléatoires i.i.d. de moyenne µ (finie) et de variance σ 2 (finie). ¯ On note X = ( n Xi ) /n l’estimateur de la moyenne et S 2 = i=1 sans biais de la variance. 1.1 n i=1 (Xi ¯ − X)2 /(n−1) l’estimateur Tests portant sur une moyenne On souhaite comparer la valeur inconnue de µ à une valeur de référence µ0 par un test de seuil α (0 <

xi−x yi− y cov  X ,Y  n i=1 r= = avec −1 r1 s X sY s X sY 1 1 2 2 2 2 où s X = ∑  x i − x et sY = ∑  y i − y n i=1 n i=1 • Propriété : si ∣r∣=1 alors il existe une relation linéaire exacte Ph. LERAY - A. ROGOZAN n n sont des variances ax i by i c=0 ∀ i 8 UV Statistique Cours n°3 quantitative vs. quantitative • Régression linéaire entre 2 v. a. quantitatives X et Y • Si X et Y sont « correctement » corrélées (rXY voisin de 1) Si X est a priori la cause de Y , Réaliser

deux conditions essentielles (in Jourda, 2005): - espérance mathématique des erreurs d'estimation nulle (équation 4): E (Z* - Z) = 0 (4) - variance des erreurs d'estimation minimum (équation 5): Var (Z* - Z) minimum (5) Pour éviter les biais d’estimation, la somme des coefficients de pondérations

x1p1 + x2p2 +…+ xnpn Ex : calculer E( X ) pour l’exemple du a) Rque : Lorsque X mesure le gain d’un jeu, E(X) permet de savoir si ce jeu est équitable ou non : Si E(X) = 0, il est équitable. c) On appelle variance de X le nombre V(X) noté V (X) tel que : V (X) = x1²p1 + x2²p2 +…+ xn²pn d) On appelle écart-type de X le nombre noté ( ( X) tel que : ( (X) = Ex : calculer V( X ) et ((X) pour l’exemple du a)

avec E(rt /rt−1 ) = 0 Ce mod`le rend compte d’une d´pendance de la variance en fonction des rendements pr´c´e e e e dents. Nous avons d´j` rencontr´ une forme analogue, lorsque nous avons utilis´ l’estimateur ea e e la volatilit´ historique par une moyenne mobile arithm´tique ´qui-pond´r´e : e e e ee 1 vt = N N 2 rt−j j=1 , avec ri le rendement ` la date i. Dans cette estimation naive, rien ne garanti que vt est bien a 2 la variance conditionnelle E(rt |rt−1 ). Le mod`le ARCH est meilleur. e En pratique

Espérance, variance, écart type Dans toute cette partie, on se donne un loi de probabilité définie sur Ω , xi X une variable aléatoire sur Ω de loi de probabilité ci-contre. x1 x2 ... xn pi = P (X = xi ) p1 p2 ... pn 1. Espérance Définition : L'espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel E[X] défini par : E [ X ]= p 1 x 1+ p2 x 2+ ...+ p n x n=∑ pi x i Propriété : Pour tous a et b dans ℝ , E [a X + b ]=a E [ X ]+ b (linéarité de l'espérance) Démonstration : 2. Variance et écart-type

cette estimation ? Solution. L’erreur type associ´ee `a une estimation est l’estimation de la racine carr´ee de l’erreur quadratique moyenne de l’estimateur. L’estimateur S 2 ´etant sans biais pour σ 2 , son erreur quadratique moyenne est ´egal `a sa variance. On a vu que 2 4 Var[S type√associ´ee `a l’estimation s2 est donc l’estimation √ ] = 2σ /(n − 1). L’erreur √ de 2 n−1 σ 2 c’est-`a-dire 2 n−1 s2 = 2 399 (2.20 po)2 = 0.3427 po2 . Num´ ero 2. La densit´e de la loi du khi-deux `a k degr´es de

permettent de décrire une série de distribution de manière plus adéquate, dans le cas où la différence dans une série de données et la dispersion et non le centre de celle-ci. Il existe quatre mesures de dispersion : - L’Étendue - L’Écart Type - La Variance - Le coefficient de variation Il n’existe aucune mesure de dispersion pour les variables qualitatives Calcul des mesures de dispersion pour les variables qualitatives PREMIER CAS : DONNÉES BRUTES L’Étendue : L’étendue correspond à l’écart

Valeurs regroupées en classes : Il faut prendre le milieu de chaque classe et se ramener au cas discret. 2) Variance et écart-type Définition : La variance V et l'écart type σ d'une série statistique ( x i ; ni ) sont les nombres tels que : 1 2 2 2 • V = (n1 ( x1− ̄x ) + n2 ( x 2−̄x ) + ...+ n p ( x p−̄x ) ) • σ=√ V n 2 2 2 n x + n x +...+ n p x p Propriété : Autre formule pour la variance V = 1 1 2 2 −̄x 2 n Remarque : L'écart type est toujours positif ou nul. II. Médiane et quartiles 1) Médiane

Densité de la loi exponentielle translatée avec différentes valeurs de b On remarque que celle qui se rapproche le plus de notre histogramme est la bleue qui a pour paramètres a = -2,5 et b = 0,27. 3-Loi normale  d’espérance m et de variance sigma^2 : On utilise la fonction dnorm qui calcule la densité de la loi normale en faisant varier Sigma et m : |curve(dnorm(x,50,0.5),col="blue",xlim=c(-100,100)) | |curve(dnorm(x