Vecteur

modéliser du fait de leur complexité. Exemple 2 : Stockage de l’eau dans un réservoir Un flotteur régule le niveau de l’eau dans un réservoir. L’eau dans le réservoir est le système, le contrôle est la position du flotteur. L’état à chaque instant est un vecteur constitué par la hauteur de l’eau dans le réservoir h(t), le débit d’entrée et le débit de sortie de l’eau. Exemple 3 : Stabilisation d’un véhicule On considère un véhicule sur un rail. Il a deux moteurs, un à l’avant (pour accélérer) et l’autre à

coordonnées AB Ä. Ici, une autre démonstration est proposée. cartésiennes du vecteur AB démo : comme Ä= Ä+ Ä d’après Chasles, on a Ä=- Ä+ Ä= Ä− Ä donc AB AO OB AB OA OB OB OA en passant aux affixes, zÄ=zÄ−zÄ=zB −zA OB OA AB zÄ=zB −zA = -4+6i−(2−3i)=-4+6i−2+3i=-6+9i. AB Comme (-4,6)=-2×(2,−3), on a zB =-2zA donc les complexes zA et zB sont proportionnels avec le coefficient de proportionnalité -2 réel obligatoirement d’où les vecteurs Ä et Ä sont colinéaires et on OA OB Ä=-2 Ä. Par contre, en longueurs,

La valeur instantanée d’une grandeur sinusoïdale est la projection sur un axe fixe d’un vecteur tournant à la vitesse angulaire ω x x θ=ωt+ϕ θ Donc à toute grandeur sinusoïdale x(t) = X 2 cos(ωt + ϕ) on associe le vecteur X de module X (valeur efficace de x) et d’argument ϕ (phase à l’origine de x) Le diagramme de Fresnel consiste à associe au courant i et à la tension u qui le crée des vecteurs dont : - Les modules sont égaux aux valeurs efficaces de ceux-ci - Les arguments sont égaux

dans le sens indirect. 24) Si une symétrie centrale transforme un segment [AB] en un segment [CD], alors [AB] et [CD] ont même milieu  AD =  CB  AB =  DC 25) Si ABCD est un parallélogramme de centre O, la translation de vecteur  DO ... transforme O en D transforme O en A transforme O en B  AB AD= CA  AD AB= DB  AB AD= AC  AB BC= AC  AB CA= CB  BA BC= AC tan (  ABC ) tan (  ACB ) sin ( 

Equations cartésiennes d’une droite I) Vecteur directeur d’une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la droite (d). qui possède Exemple 1 : Toute droite possède une infinité de vecteurs directeurs. Remarque : Soit colinéaire au vecteur un vecteur directeur de la droite (d).Tout vecteur non nul et est aussi vecteur directeur de cette droite. Exemple 2 : Remarques : • Deux points distincts

extrémités. Statique d’aujourd’hui : toute poussée ou traction est appelée force, représentée par une flèche. Ligne d’action d’une force est infinie. Sens et direction Le levier : Une force est un vecteur par opposition à une masse qui a une grandeur mais pas de direction. Proportion inverse entre force et bras de levier Moment de force (N/m) : A x a = B x b (grandeur de la force x bras de levier) Le levier est équilibré sur son pivot quand les moments

force centripète (Fc) maintient un corps dans un mouvement circulaire. Elle est toujours dirigée vers le centre de rotation. - Dans un mouvement circulaire uniforme, la norme de la vitesse est constante, mais sa direction change constamment. Le vecteur vitesse est toujours tangent au cercle dessiné par la trajectoire et perpendiculaire au rayon de courbure. - La force centripète peut avoir une nature différente selon la situation considérée. Par exemple, il peut s’agir d’une tension, d’une force

lorsque le ressort est au repos. 1. Équation différentielle associée au système {solide, ressort} et solution. 1.1. Faire l’inventaire des forces exercées sur le mobile. Recopier sur votre copie la figura 1 en faisant apparaître ces différents vecteurs forces sans souci d’échelle. 1.2. Rappeler l’expression vectorielle [pic] de la force de rappel du ressort en fonction de k, x et [pic] . 1.3. En appliquant la seconde loi de Newton au mobile, établir l’équation différentielle du mouvement

Force Fki en Ak – Action du nœud Ai : Force Fik en Ai Le P.F.S. appliqué à la barre α conduit à Fki + Fik = 0 (résultante) et Fki est colinéaire −− −→ à Ai Ak (moment) : la barre travaille en traction compression. Notations : −− −→ −− −→ Soit eik le vecteur unitaire défini par Ai Ak = Ai Ak eik . On pose : Fki = Nik eik . On en déduit : Nik = Nki = Nα = tension dans la barre Ai Ak , numérotée α. 3.2.2 Équilibre du nœud Ak . k étant fixé, on note I(k) l’ensemble des indices i tels qu’il existe

ascenseur : Choix du solide à isoler : l’ascenseur avec son câble Bilan des actions Poids du passager P1=750 N Toutes ces forces sont alignées - Poids de l ’ascenseur P2 3000 N - Tension du câble T = ? D’après la projection des vecteurs forces par rapport au sens de l’axe z ,on a: Application numérique : T = P1 + P2 = 3750 N - P1 - P2 + T = 0 Le théorème des moments est utilisé lorsque l’on a plusieurs forces parallèles. En effet le théorème des forces, seul, s’avère