Vecteur

Énoncé d’Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.2 Énoncé complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Étude de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Théorème des formes normales des champs de vecteurs sur Tn 28 3.4.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 3.5 3.4.3 Démonstration du théorème des formes normales . . . Théorème KAM par Nash-Moser

AB q¥9 p iQh ¥`d f Q g D hi b eD`a d d7 c a C @AB 9 b 7 a 87 6 G 8D 76 6 G `Y 87 D UV GG EF 6 8 CX@ 7 6 S R @ G A B P 8 7 @B 66 Q R S 6 6 P T P P 66 S P D 8 7 UV 6 Q R R G T P 6 T Q R P G GIS HEF GP C AB ¥9 @ 87 la matrice de donn´ e par : e est vecteur propre de et on note de . tels que . telle que la matrice de dans cette base soit ? 5 5 7 u 87 @AB 9 6 8W , puis d´ terminer les valeurs propres de e 87 , puis . et en d´ duire e . ne poss` de pas de racine e

. . . . . . . . . 10.8.3 Théorème de Stockes . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.4 Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de 11 Les équations de Maxwell dans le vide 11.1 Le champ électromagnétique . . . . . . 11.1.1 Champ électromoteur et vecteur 11.1.2 Le champ magnétique . . . . . 11.2 Le régime variable . . . . . . . . . . . 11.2.1 Le phénomène de propagation . 11.2.2 Le phénomène d’induction . . . 11.2.3 Le phénomène de capacité . . . 11.3 L’induction électromagnétique . . . . 11.3.1 Loi

. . . . . . . . . . . 7.2 Définition et propriétés des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 46 8 Les vecteurs 8.1 Repérage de l’espace . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Orientation d’un plan et d’un trièdre. 8.1.2 Repères. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Produits scalaire et vectoriel . . . . . . . . . . 8.2.1 Produit scalaire de deux vecteurs. . . . 8.2.2 Produit vectoriel. . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Quelques remarques. . . . . . . . . . . 8.3 Différentielles et dérivées

de classe C k , k ∈ N ∪ {∞}, si les fonctions fi sont de classe C k . D ÉFINITION I.1.2. n Soit U un ouvert de Rn . On appelle champ de vecteurs sur U une application X = (Xi )i=1 de U dans Rn . On dit que X est k k de classe C , k ∈ N ∪ {∞}, si les fonctions Xi (de U dans R) sont de classe C . Les 1-formes différentielles f = ∑ni=1 f dxi et les champs de vecteurs X = (Xi )i=1 sont mis en dualité par la formule n n f , X (x) = ∑ fi (x)Xi (x). i=1 Exemple I.1.1 (Exemple fondamental). Soit U un ouvert

R´ ponse en fr´ quence, spectre e e A la m´ moire de Joseph Fourier e u U X X B = e−iwt 1 = s + iw 1 = H s + iw 1 = AH + B s + iw = H(−iw) ´ Les exponentielles complexes sont les vecteurs propres des operateurs ; ´ H(−iw) est la valeur propre associee au vecteur propre e−iwt . plan Exemple de la suspension H H(−iw) = 2 w0 2 s2 + 2zw0 s + w0 = 2 w0 2 −w2 − 2izw0 w + w0 ´ H(−iw) est une fonction complexe de la frequence d’ excitation w Elle

donc les points M, N et P sont alignés. 2. ⃗ MN (−3 − (−2) ; 7 − 3) ⃗ MN (−1 ; 4) −1 −3 4 ⃗ MP (−5 − (−2); 14 − 3) ⃗ MP (−3 ; 11) 11 −1 × 11 − 4 × (−3) = 1 ≠ 0 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Les coordonnées des vecteurs MN et MP ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs MN et MP ne sont pas colinéaires, les points M, N et P ne sont pas alignés. Correction du n°28 p 237 1. ⃗ AB (2 − (−3) ; 3 − 5) ⃗ AB (5 ; −2) ⃗ AC (12 − (−3) ; −1 − 5), ⃗ AC (15 ; −6) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ On constate

: 2. Ajouter les ondes Exemple sur la portion des ondes de même amplitude : • Et(x,y,z,t) = E0M cos(ωt-k1.r + φ1)u1 + E0M cos(ωt-k2.r + φ2)u1 Et = 2E0Mcos [ 1 (2ωt-(k1+k2).r + φ1+ φ2)] cos[ 1 ((k2-k1).r + φ1- φ2)] 2 2 Onde qui se propage avec le vecteur d'onde moyen ∆ϕΜ = ϕ - ϕ 1 2 3. Calculer l'intensité I = Et.Et = E20M + E20M + 2 E0M.E0M cos [(k2 – k1).r + φ – φ ] = 4E20M cos2 [∆ϕΜ/2] 1 2 => I présente des min et max 8 2.3. Définitions CHAMP D’INTERFERENCES : lieu des points où

colonnes est dite d’ordre (m,n) ou de dimension (m,n). On peut aussi noter les matrices par des parenthèses ( ) ou des doubles barres : NB : une matrice qui n’a qu’une seule ligne s’appelle matrice-ligne ou vecteur-ligne ; une matrice qui n’a qu’une seule colonne, s’appelle matrice-colonne ou vecteur-colonne. , Exemple de matrice-ligne : A (1,3 ) [10,3] 1    Exemple de matrice-colonne : B (3,1) 2   5   1.2 Matrices carrées Une matrice qui a autant de lignes que de colonnes (m=n) est

GeoGebra prise en main rapide avec vecteurs Ouvrir le logiciel géogébra  a. A l’écran : • une barre d’outils • 9 icônes • page écran séparée en deux zones ; à gauche la fenêtre algèbre ; à droite la feuille de travail • champ de saisie b. prise en main rapide Icônes : cliquer sur la flèche en bas à droite de l’icône pour voir les fonctions proposées ; procéder de même avec les autres icônes. • Icône