Voie normale

61 61 64 64 64 65 65 66 66 67 68 68 69 70 71 72 73 74 75 75 76 77 79 82 84 3.3 3.4 4 Intervalles de confiance 4.1 Probl´matique et d´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 4.2 Intervalles de confiance pour les param`tres de la loi normale e 4.2.1 Intervalle de confiance pour la moyenne . . . . . . . . 4.2.2 Intervalle de confiance pour la variance . . . . . . . . 4.3 Intervalle de confiance pour une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANNEE 2011 -2012 METHODES QUANTITATIVES L3 EXERCICES SUR LA LOI NORMALE EXERCICES LOI NORMALE EXERCICE 1 On sait qu’habituellement à la sortie 3 de l’autoroute sur une journée où passent de 8000 automobiles le nombre de tickets à 5€ suit une loi Normale de paramètres 3200 de moyenne et 44 d’écart type. 1. calculer la probabilité qu’au cours de cette même journée il y ait moins de 3250 voitures à

consid´r´es comme extrˆmes lorsqu’elles sont s´par´es de la moyenne de ee e e e 2 ou 3 fois la d´viations (Verhoeven et McAller). Les donn´es plus ´loign´es e e e e sont donc aberrantes. Cette d´finition est pratique dans le cas d’une distribue tion normale, mais peu g´n´ralisable ` l’ensemble des distributions. Le but de e e a ce papier est de d´terminer de mani`re statistique via des tests d’hypoth`se e e e si une valeur et oui ou non aberrante. La th´orie des valeurs extrˆmes nous apporte des outils

n est suffisamment grand (n ≥ 30), alors Mn suit approximativement la loi normale N(m ; σ n ) 2.2 Loi de Mn X variable aléatoire définie sur Ω avec : E(X) = m et V(X) = σ2. Soit Mn, la VA. qui, à tout échantillon de taille n, associe la moyenne des valeurs de X sur celui-ci alors Mn a pour espérance m, et pour écart type Soit E(Mn) = m et σ(Mn) = σ σ n n De plus si X suit une loi normale, ou si n ≥ 30, alors : Année Universitaire 2010-2011 Semestre 3 1

quelconque . . . e 4.2 Simulation de variables al´atoires ` densit´ . . . . . . . . . e a e 4.2.1 Loi uniforme sur [a, b] avec a < b ∈ R . . . . . . . . 4.2.2 M´thode d’inversion de la fonction de r´partition . e e 4.2.3 M´thode polaire pour la loi normale centr´e r´duite e e e 4.2.4 M´thode du rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 R´sum´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5 Convergence et th´or`mes

(34,46 – 14,56) et (34,46 + 14,56) soit entre 19,90 et 49,02 euros → la disparité des prix entre les points de vente est plus forte à Paris qu’à Bruxelles Rappel sur l’utilité de l'Ecart - Type : Si la répartition des effectifs suit une Loi Normale dite "Loi de GAUSS", alors on peut considérer que : - dans la tranche ([pic] - ; [pic] + ), on recense environ 68,27 % des effectifs totaux - dans la tranche ([pic] - 2 ; [pic] + 2 ), on recense environ 95,45

distribué selon une loi normale. Exemple Avec une loi discrète On souhaite estimer le paramètre λ d'une loi de Poisson à partir d'un n-échantillon. L'estimateur du maximum de vraisemblance est : Démonstration La vraisemblance s'écrit : La vraisemblance étant positive, on considère son Logarithme naturel : La dérivée première s'annule quand : La dérivée seconde s'écrit : Ce ratio étant toujours négatif alors, l'estimation est donnée par : Il est tout à fait normal de retrouver dans

étudiants est importante, on peut supposer que la distribution suit la loi normale (loi de Gauss). En effet la consommation de chocolat varie selon les individus : quelques personnes ont une consommation nulle, ou très faible et au contraire quelques personnes trop gourmandes mangent toute une plaquette, et la majorité des individus auront une consommation plus raisonnable… Donc les échantillons suivent une distribution normale, c’est à dire un distribution « en forme de cloche ». Si ma variable suit

Mod´lisation GARCH e Daniel Herlemont 3 mai 2007 Table des mati`res e 1 Introduction 2 Test empiriques sur les indices d’actions 3 Compl´ments - GARCH en temps continu e 4 References 1 5 6 7 1 Introduction La mod´lisation GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) e est devenu un outil incontournable en finance [2] [3] [4], particuli`rement utile pour analyser e et pr´voir la volatilit´. e e Ces mod`les rendent compte des faits stylis´s connus, tels que la variation

. 3. Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Covariance et corrélation . . . . . . . . 5. Fonction de répartition conjointe . . . 6. Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . 7. Règle de calcul des espérances . . . . . 8. Loi Gaussienne ou normale . . . . . . 9. Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Principes, méthode de moments 9.2. Moindres carrés ordinaires . . 9.3. Maximum de vraisemblance . . 2 7 7 7 8 9 9 10 10 11 11 11 13 14 17 17 20 22 25 27 28 31 35 35 37 37 43 . .