équation Deuxième Degré

Généralités sur les polynômes- Equations et Inéquations du 2nd degré I- Généralités sur les polynômes Une fonction polynôme est une fonction numérique qui peut s’écrire sous la forme f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ……… + a1x + a0 Où a0, a1, a2, ……… an sont des nombres réels donnés appelés coefficients. x est la variable. Si an ≠ 0 le polynôme est de degré n Exemple: f(x) = (x+1)2 + (x-1)2 + x4 f(x) = x4 + 2x2 + 2 C’est un polynôme du 4ème degré. Le coefficient de x4 vaut

I - Second degré Résolution d'équation du second degré Signe de ax²+bx+c Factorisation d'un polynôme du second degré Calculatrice et second degré I 5 6 7 7 A. Résolution d'équation du second degré 1. Résolution de l'équation ax²+bx+c=0 Définition Pour résoudre l'équation ax²+bx+c=0 on calcule  b −4 a c 2 Si 2 b −4 a c est positif on a alors deux solutions possibles : 2 2 - b−  b −4 a c ou - b b −4 a c x 1= x 2= 2a 2a   Si Si 2 b −4 a c est égal à 0 on a

 z1 3 2 Ex1 : a) l' équation donc 2 3 j  j =1 ) j= b) Q  z = z 4 z 21=0⇔ Z = j ou Z = j 2 en posant Z = z 2 d'où z 2 = j=  2 ou bien j 2 2 j j z = j .Donc les solutions de Q(z)=0 sont { j ,− j ,  ,− } . z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2 =1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré à coefficients réels . Q

Chapitre 6 Chapitre 6. Second degré Activités et applications 1. Fonctions polynômes de degré 2 Activité 1. a) Tracés sur l’écran d’une calculatrice. b) Les branches de P1 sont orientées vers le haut et le coefficient a de f1 est strictement positif. Les branches de P2 sont orientées vers le haut et le coefficient a de f2 est strictement positif. Les branches de P3 sont orientées vers le bas et le coefficient a de f3 est strictement négatif. Les branches de P4 sont orientées vers le bas et

Equation du second degré Définition : Une équation du second degré a pour forme générale : a x2 + b x + c = 0 avec a ¹0. Les solutions (si elles existent) d'une telle équation sont les abscisses des points d'intersection : de la parabole d'équation P d’équation y = a x2 et de la droite D d’équation y = - b x – c Résolution graphique d'une équation du second degré Cas 1 : (figure I page 3) La droite (D) coupe la parabole (P) en deux points A et B. Les deux solutions distinctes sont les abscisses

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 3 5 . . . . . 6 6 7 7 8 11 3 Fonction exponentielle et équation différentielle 11 4 Fonction logarithme népérien 12 5 Fonctions puissances et croissances comparées 5.1 Fonctions puissances x n et x1n . . . . . . . . . 5.2 Fonctions racine n ième . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Croissances comparées . .

Ce qu'il faut savoir : résoudre des équations simples du premier degré (exemple : x-2=0)et des équations-produits. rappel : Les identités remarquables Elles sont utiles quand l'équation est sous une forme particulière.(exemple pour x²-1=0 : on reconnaît une différence de carrés et le second membre est nul) Il en existe 3 qu'il faut apprendre par coeur. a² + 2ab + b² = (a+b)² a² - 2ab+b² = (a-b)² a² - b² = (a+b)(a-b) Attention  (a+b)² n'est pas égal en général à a²+b² !!!! Exemple : pour x² -

dans , les équations suivantes : 1. (x - 2)(x + 5) = 0 2. x 2 + 3x = 0 3. x 2 - 8 = 0 4. x 3 + x 2 + x + 1 = 0. Exercice 2 (4 points) On donne le trinôme du second degré P défini sur  par : P(x) = 4 x 2 - ( 6 + 4 3 )x + 3 2 1. Montrer que P admet 6 pour racine. 4 2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) . 2 2 2 1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre

1. Vérifions: a² = 9x² donc a = 3x b² = 1 donc b = 1 On factorise: C = (3x + 1)(3x – 1) Astuces: _ si on a 3 termes et 2 « + » alors c'est peut être la première identité remarquable _ si on a 3 termes, 1 « + » et 1 « - » alors c'est peut être la deuxième identité remarquable _ si on a 2 termes et 2 « - » alors c'est peut être la troisième identité remarquable ATTENTION: _ si on a 3 termes et 2 « - » ce n'est pas une identité remarquable (4x² - 4x - 1) _ si on a 2 termes et 1 « + » ce n'est pas une

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions : −( −1) − 25 1 − 5 x′ = = =