Vecteur propre

conditions initiales est p¶nible, mais sans di±cult¶s. e e e La recherche des deux fr¶quences !1 et !2 est un exemple particuliµrement simple de recherches de e \modes propres" dans des systµmes d'oscillateurs coupl¶s. Trµs g¶n¶ralement, un systµme d'oscillateurs e e e e e e lin¶aires coupl¶s poss¶dant p degr¶s de libert¶, admet p fr¶quences propres. Chacune de ces fr¶quences e e e e e e e correspond µ une con¯guration particuliµre des mouvements des degr¶s de libert¶, conduisant µ un a e e e a mouvement purement

GUI basique assez répandu Les Inconvénients de Scilab incompatibilit´e avec Matlab lenteur relative d’ex´ecution Calcul Matriciels Les operations sur les vecteurs 1- Assemblage de vecteurs La caractéristique essentielle de MATLAB pour l’utilisateur est de permettre les opérations arithmétiques sur les vecteurs et matrices, comme en mathématique. En calcul scientifique, on parle de calcul vectoriel. Un élément fondamental de l’apprentissage de MATLAB consiste donc à savoir effectuer

théorie I. VOCABULAIRE DE MATHÉMATIQUE II. FONCTIONS a) La Fonction sinus. b) La Fonction cosinus c) La Fonction tangente. 12 14 15 16 III. 1. 2. 3. 4. IV. V. VI. Les Dérivées Les Primitives Équations différentielles à coefficients constants LES VECTEURS STATIQUE CINÉMATIQUE C1 CINÉMATIQUE C2 MÉCANIQUE VIBRATOIRE 18 21 25 31 35 46 49 59 Page 3 /62 MODULE 21 : MATHÉMATIQUES ET MÉCANIQUE APPLIQUÉE Code : Durée : 35 heures OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAU DE COMPORTEMENT COMPORTEMENT

✝ NaN ou nan : “Not a Number” ✝ ✠ ✁1 ✂ zeros(m,n) : matrice de z´eros de dimension m zeros(1,2) 0 0 [] : variable vide (i.e. matrice de dimensions nulles). ones(m,n) : matrice de 1 1.3 D´efinir un vecteur de r´eels incr´ement´es ones(2,3) Le caract`ere : permet de d´efinir des vecteurs d’entiers successifs : >> 1:5 ans = 1 ✁ eye(n) : matrice identit´e de dimension n 1 0 eye(2) 0 1 Inf ou inf signifie que la variable est infinie : ∞ (-Inf est e´galement d´efinie) ✝ 1 1 1 1 1 ✡ ✄

=y; z 2 Rg Cette partie on va la revoir dans l’intersection des 3 Plans. 2 Chapitre 2 : Diagonalisation de A. Dans ce chapitre on aura 5 points importants: 1. Polynôme Caractéristique. 2. Sp(A) ou les valeurs propres de A. 3. Sous Espaces Vectoriels Propres de A ou les vecteurs propres. 4. A est diagonalisable ?!! Diagonalisé A. 5. Applications. 2 2.1 Polynome Caractéristique PA (X): PA (X) = det(A 1 1 1 2 1er exemple A = @ 1 2 1 A : 2 1 1 1 X 1 PA (X) = det(A XI) = 2 XI) 0 1 2 1 L1 L2

cours que le terme dominant du polynôme caractéristique est (¡1)nXn ² Réciproquement si le coe¢cient est (¡1)nXn le calcul précédent donne une matrice compagnon qui admet Q comme polynôme caractéristique en partant de P = (¡1nQ a) Les valeurs propres sont les racines de  qui se calcule par un déterminant; or le déterminant est invariant par transposition: det(tCp ¡ In) = det (Cp ¡ ¸In) b) on a tCP = 0 BBBBB@ 0 1 0 : : : 0 0 0 1 : : : 0 ... . . . . . . ... 0 : : : 0 1 ¡a0 ¡a1 : : :

UNIVERSITES (TCT) FFa SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)     MECANIQUE  RATIONNELLE    O → → → z0 , z1 → z2 ψ → • y0 L L/2 R A x0 θ C • → → x1, x2 Cours & exercices résolus    Rappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides, Géométrie des Masses, Cinématique du Point et du Solide, Cinétique et Dynamique des Solides A. KADI UNIVERSITE M’HAMED BOUGARA - BOUMERDES Cet ouvrage est destiné aux étudiants de deuxième année des

, x3 ) ∈ R3 , on pose q(x) = x21 − 8x22 + 8x23 − 2x1 x2 − 6x2 x3 . 1. Montrer que q est une forme quadratique sur R3 . 2. D´eterminer le rang et la signature de la forme q par la m´ethode de Gauss. Exercice 2 1. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme

la plus grande dimension de sous-espace isotrope de E (i.e. sous-espace vectoriel de E form´ de vecteurs isotropes) ? e Exercice 10. Nature de la quadrique d’´quation xy + yz + zx + 1 = 0. e 2 Solutions Exercice 1. Soient x ∈ E et f ∈ E ∗ . Notons X et X les vecteurs-colonne form´s par les colonnes de x e dans les bases B et B respectivement. On a X = P X . De mˆme notons Y et Y les vecteurs-colonne e form´s par les colonnes de f dans les bases B ∗ et (B )∗ respectivement. On a f (x) = t

61 62 63 64 66 68 70 70 70 71 72 72 73 74 74 75 76 77 Magn´tostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1. Loi d’Amp`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1. Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . 2. Potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . 3. Loi d’Amp`re . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2. Mouvement dans des champs ´lectrique et magn´tique e e 1. Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . 2. Formulations Lagrangienne et Hamiltonienne . . . 2.3