Absolue continuité

Le Calcul Intégral niveau maturité Daniel Farquet Eté 2008 Table des matières 1 Introduction 2 2 Intégrale indéfinie 2.1 Définitions et généralités . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Déf. d’une primitive . . . . . . . . . . . 2.1.2 Primitives d’une fonction . . . . . . . . 2.1.3 Déf. d’une intégrale indéfinie . . . . . . 2.1.4 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . 2.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Intégration par identification . . . . . . 2.2.2 Intégration par parties

Contrôle Terminale ES2 Exercice 1 La courbe ci-dessous est la courbe représentative notée Cf d’une fonction f définie sur . Les droites D et  sont les asymptotes à Cf respectivement en et en . À partir du graphique et des renseignements fournis : Donner une équation des droites  et D. Quelles sont les limites de f en et en  ? Quelle est la limite en de f(x) + x - 2 ? Exercice 2 La courbe (Cu), ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction u définie sur  dans un repère

TD Dérivation 1 Etude de dérivabilité : Exercice 1 Soit f la fonction définie pour t ∈ 0, π2 , par f (t) = 1 sin(t) − 1t . Montrer que f peut être prolongée en une fonction de classe C 1 sur 0, π2 . Exercice 2 Déterminer les limites suivantes : sin(x− π3 ) a) limπ 1−2 cos(x) b) lim xn −1 x−→1 x−1 x−→ 3 c) limπ cos(x)−sin(x) 4x−π x−→ 4 Exercice 3 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée là où elle existe

2, alors (vn ) est minorée par −1. 3. Si (un ) est décroissante, alors (vn ) est croissante. 4. Si (un ) est divergente, alors (vn ) converge vers zéro. Exercice no 58 On considère la fonction f , définie sur [1 ; +∞[ par et . t a. Justifier la continuité de f sur [1 ; +∞[. f (t) = 1. b. Montrer que f est croissante sur [1 ; +∞[. 2. Restitution organisée de connaissances. (Pondichéry 31 mars 2005) On pourra raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni. Pour tout réel x0 de [1 ; +∞[, on note

comprendre est l’algorithme de di- chotomie. exercice : déterminez (en fonction de a, b et n) le nombre d’étapes nécéssaires pour obtenir un encadrement de x de largeur 10−p. Il est simple à mettre en oeuvre et présente l’avantage de n’exiger que la continuité (et pas la dérivabilité) de la fonction étudiée. Mais il a l’inconvénient de n’être utilisable que pour des solutions d’équations réelles. corrigé succint : La largeur de l’intervalle au bout de l’itération n est (b − a)/2n , et on veut donc (b−a)/2n

EXERCICE 3 (4 points ) (Commun à tous les candidats) On donne la représentation graphique d’une fonction f définie et continue sur l’intervalle I = [−3 ; 8]. 4 y 3 2 1 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x 8 −1 −2 x On définit la fonction F sur I par F (x) = f (t) dt. 0 1. a) Que vaut F (0) ? b) Donner le signe de F (x) : - pour x ∈ [0 ; 4] ; - pour x ∈ [−3 ; 0]. Justifier les réponses. c) Faire figurer sur le graphique donné en ANNEXE les éléments

Démonstration de la dérivabilité de ln x Cette démonstration a deux variantes assez éloignées l’une de l’autre et assez techniques l’une et l’autre ! Propriété La fonction ln x est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x )' = 1 x Démonstration 1 Le principe On travaille en deux temps : dérivable en 1 puis dérivable pour tout réel strictement positif Pour retenir cette démonstration Elle est assez difficile donc pas de découragement surtout ! On peut s’aider d’un schéma pour visualiser car on

Séquence 6 1ère partie : Dérivation (2) : application aux variations des fonctions e 2 partie : Probabilités (2) : loi de Bernoulli, loi binomiale Séquence 6 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne 1ère partie Dérivation (2) : application aux variations des fonctions Sommaire 1. Pré-requis 2. Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle 3. Synthèse de la partie 1 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence 6 –

∞ ∞ (λun + vn ) = λ Attention ! On peut avoir n=0 ∞ un + n=0 vn . n=0 (un + vn ) qui converge alors que un et 1 1 − ou (n − n). . . ). (voir par exemple n n+1 n≥1 vn divergent Suites et séries numériques de PCSI Page 7 3) Convergence absolue un est dite absolument convergente si et seulement si Définition : Théorème : si |un | converge. un converge absolument, alors elle converge et l’on a ∞ n=0 ∞ un ≤ n=0 (inégalité triangulaire). |un | Attention ! Réciproque fausse ! ! (Voir

(x+1)2 D’où on a une unique solutions sur ℝ vérifié les conditions de l’exercice. Exercice 5 : (a) : convergence. la fonction f(t) = t−1 est continue ln(t) sur]0,1[ . 1 pour le point 1 : On a limt→1 f(t) = 1 , Donc elle est prolongeable par continuité au point 1 . D’où ∫1 f(t)dt converge. 2 1 1 1 Pour le point 0 : On a limt→0 √t f(t) = 1,donc f(t) = 0( t) au voisinage de 0 , de plus ∫02 ( t) dt converge d’après Riemann. √ 1 √ Ainsi ∫02 f(t)dt converge. Donc notre intégrale converge. Calcul