Angle inscrit dans un demi-cercle

Contrôle n°1 de mathématiques - 3D - Corrigé 26/09/08 EXERCICE 1 (à compléter) : (x + y)² = x² + 2xy + y² (x – y)² = x² - 2xy + y² (x + y)(x – y) = x² - y² EXERCICE 2: Soit l’expression A = 3x(2x – 5) – (x + 6)(2x – 5) 1) Développer et réduire A 2) Calculer A pour [pic] 3) Factoriser A. Réponses : [pic] [pic] [pic] EXERCICE 3: E= 25x² + 20x + 4 + (5x + 2)(x + 3) 1) Factoriser l’expression : H = 25x² + 20x + 4 2) En déduire une factorisation de E.

résultat sous la forme d’une fraction irréductible. Partie Géométrique Dans toute cette partie, l’unité de longueur est le centimètre et les figures ne sont pas en vraie grandeur. Exercice 1 : Soit un cercle de centre O et de diamètre[pic]. On donne[pic]. E est un point de ce cercle tel que[pic]. 1) Faire une figure en vraie grandeur. 2) Quelle est la nature du triangle ABE ? Justifier. 3) Calculer la longueur BE. 4) a) Calculer le cosinus de l’angle [pic]. b) En

Construire E puis déterminer ses coordonnées par le calcul. 6) E appartient-il à la droite (DB) ? Justifier. Exercice 5 (4 points) [pic] ABC est un triangle. Le cercle de centre O et de rayon R est le cercle circonscrit à ce triangle. La droite (OA) recoupe le cercle en D. H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. 1) Justifier que les angles [pic] et [pic] ont la même mesure. 2) Montrer que les triangles AHC et ABD sont semblables

C ONFIGURATION DE T HALÈS 1. Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle : Théorème de Thalès Soient deux droites (M B ) et (NC ) sécantes en un point A, telles que les droites (M N ) et (BC ) soient parallèles. Alors les rapports suivants sont égaux : AM = AB AN = M N (autrement dit, les longueurs des côtés des triangles AM N et ABC AC BC sont proportionnelles). Ex : ABC est un triangle, M ∈ [AB ], N ∈ [AC ], AM = 5, AN = 6, AB = 8, BC = 4 ; de plus, les droites (M N ) et (BC ) sont parallèles

triangle ABC, tel que : - M soit un point de [AB] - N soit un point de [AC] SI (MN) est parallèle à (BC) AM AN MN ALORS = = AB AC BC A IV. TRIANGLE RECTANGLE. 1) Triangle rectangle et cercle. Propriété « directe » : M N SI un triangle ABC est rectangle en A, ALORS ABC est inscrit dans un (demi) cercle de diamètre [BC] (l’hypoténuse). A Exercice type : On considère la figure suivante. Les droites (BM) et (FR) sont parallèles. Calculer AM et FR. Dans le triangle AFR : B∈[AF], M∈[AR]

Correction brevet blanc Exercice 1 (4,5 pts) 1°) Le nombre 2°) 6×10 3×28×10 14×10 3 2 est égal à 12×10 4 (C) √8 – √ 2 est égale à √ 2 (B) 3°) Nombre en notation scientifique : 1,52×10 3 (C) 4°) 3x (5 – 4x) = 15x – 12x ² (B) 5°) (x – 1)(x – 2) – x ² = – 3 x + 2 (C) Exercice 2 (2,5 pts) 1°) – 4 – 6 = – 10 ; (– 10)² = 100 Pour – 4, le résultat obtenu est 100. 2°) 15 – 6 = 9 ; 9² = 81 Pour 15, on obtient 81. 3°) 144 = 12² = (18 – 6)² et 144 = (– 12)² = (– 6 – 6)² Donc on peut choisir

Points remarquables appartenant au cercle circonscrit à un triangle 3 Voir aussi 3.1 Article connexe Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code] Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point équidistant des trois sommets (qui est aussi le centre du cercle circonscrit, voir ci-dessous). [afficher] Démonstration Il existe un et un seul cercle passant à la fois par les trois sommets du triangle. Ce cercle de centre est appelé cercle circonscrit au triangle. [afficher]

et d’angle . 2 3 1. a) Justifier que S (A) = B. b) Montrer que le triangle ACE est équilatéral et en déduire que S (E) = O. 2. Soit I un point du segment [EO], distinct des points E et O et soit (G) le cercle de centre I et passant par A. Les droites (AD) et (AB) recoupent le cercle (G) respectivement en M et P. a) Tracer (G) et placer les points M et P. b) Justifier que le point C appartient à (G). 3. Soit N le projeté orthogonal du point C sur la droite (MP). uuur Ùuuuu r p a) Montrer

considère les points A  2; 1 , B  6;0  et C  4;2  . 1. Déterminer l’équation du cercle (C) de centre A et de rayon 13. 2. a. Justifier que les points B et C sont à l’intérieur du cercle (C). b. Qu’en déduire de l’intersection de la droite (BC) et du cercle (C) ?. 3. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC). b. Préciser les coordonnées des points d’intersection de la droite (BC) et du cercle (C). Exercice 2. ABCD est un parallélogramme. 1. Faire une figure et placer les points

=+=+IDEDAADD52=++^hIDEDAADD5252=++. Donc IDEDAD5352=+.2 G est le milieu du segment AAl6@. Donc on a DGDADA21=+l^h. Or Al est le centre de gravité du triangle BCD. Donc IDAD32=l. Donc IDGDAD2131=+.3 On a DEDG65=. Donc les vecteurs DE et DG sont colinéaires. Donc les points D, G, E sont alignés. 1 Voir la fi gure ci-dessous.ACEDB2 CECBAB2325=+.DEDBBCCE=++, soit :DEACABBCCBAB2212325=--+++ccmm.DECAABBCCBBCBC222122125=+-=-=-.Les vecteurs DE et BC sont colinéaires, donc les droites DE^h et BC^h sont parallèles