Angles d'Euler

exponentiel 3.4 : Équation du second ordre : second membre trigonométrique 3.5 : Équation du second ordre : racine double 4. Géométrie 4.1 : 4.2 : 4.3 : 4.4 : 4.5 : 4.6 : 4.7 : Géométrie du triangle Formule de Héron Droite d’Euler Cercle d’Euler Tétraèdre régulier Plans dans l’espace Perpendiculaire commune 59 59 61 63 67 71 74 75 9782100547678-Fresl-C1.qxd 5/07/10 8:44 Page 3 Fonctions usuelles 1 Exercice 1.1 : Raisonnement par analyse-synthèse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple de diagramme de directivité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Types d’arrangements étudiés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définition des angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description des notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Directivité de piston de différentes tailles. . . . . . . . . . . . . . . . .

 19e  siècle  :  Mathématicien  Flamant  on  lui  doit  le  passage  du  globe  terrestre  au  planisphère   (échelle  non  respectée=)  projection  cylindrique  concernant  les  angles,  tangente  à  l’équateur.  Valable   sur  toutes  les  projections  européennes.     Ce  qui  prédomine,  c’est  la  notion  de  terre  sphérique,  ce  qui  intéresse  :  boussole

solution de notre problème. On fait le bilan des forces au point M. La somme des tensions (qui sont identiques en intensité) est nulle. Donc on a la somme de 3 vecteurs de même longueur qui est nulle. Cela n’est possible que si les angles valent 120o. En effet si l’un des trois angles est inférieur à 120o , la longueur du troisième vecteur qui est l’opposé de la somme (à l’intensité près) serait inférieure à 2 cos(60o ) = 1. RETOUR AU SOMMAIRE Olympiades académiques 2014 9 AIX-MARSEILLE Premier exercice

l'intelligible, de l'intuitif et du rationnel. Les définitions mathématiques sont créatrices ou décisoires. Pour Kant (1724 -1804) « les définitions mathématiques ne peuvent jamais être fausses ». C’est ainsi que les trois angles d'un triangle seront toujours égaux à deux angles droits (180°), quelle que soit l'existence ou la non-existence de triangles dans la nature. Par contre, en physique, les vérités sont empiriques, établies et confirmées par l'expérience. La physique, dès lors, est beaucoup

entre les nombres : égalité, ordre, approximation. Notions de proportionnalité (fonction linéaire). Mesures (longueur, masse, durée, vitesse, aire, volume) en relation avec les sciences expérimentales. Éléments simples de géométrie plane (droite, angles, figures classiques et propriétés principales, symétries, homothéties, rotations) et de géométrie dans l’espace (quelques solides usuels et propriétés principales). Éléments sur l’utilisation des calculatrices électroniques et d’outils informatiques

2 x→0 x 2 lim 1.2 Fonction tangente sin x π · + kπ ; k ∈ Z} par : tan x = cos x 2 Elle est impaire et π-périodique. Dérivée : 1 ∀x ∈ D (tan x) = 1 + tan2 x = · cos2 x Limite : tan x = 1. lim x→0 x Elle est définie sur D = R \ { 1.3 Angles associés cos (π − x) = −cos x ; sin(π − x) = sin x ; tan(π − x) = −tan x cos (π + x) = −cos x ; sin(π + x) = −sin x ; tan(π + x) = tan x π π 1 π cos − x = sin x ; sin − x = cos x ; tan −x = 2 2 2 tan x π π π 1 cos + x = −sin x ; sin + x = cos x

5 5.6 5.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . 5.2.4 Transformations réciproques 5.2.5 Extension à l’espace . . . . . L’homothétie . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Définition et conséquences . 5.3.2 Propriétés de l’homothétie . Transformations et angles orientés . Transformations et barycentres . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D´veloppements limit´s de puissance de puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . e e Pb 21 : Equation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 22 : Th´or`me des accroissements finis. Approximations de la constante d’Euler. . e e Pb 23 : Suites et fonctions d´finies par des int´grales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Pb 24 : Suite et d´composition en ´l´ments simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ee Pb 25 : Sous-groupes additifs de R. . . . . .

P EI Z Quand α tend vers zéro, C et S tendent respectivement vers 0.5 et 4. Quand α tend vers π, le déterminant de la matrice de rigidité [K] tend vers zéro : les rotations θAZ et θBZ tendent vers l’infini. On retrouve ici la charge critique d’Euler : PC = π 2 EI Z L2 Rappels théoriques 13 Plus généralement, pour une structure quelconque, les équations d’équilibre s’écrivent : [ F ] = ( [ K0 ] + [ KNL ] ) [ U ] où [ K0 ] est la matrice de rigidité ordinaire calculée dans sa configuration