Arbre de probabilité

. . 28 29 29 30 30 32 5 Les 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 37 37 39 39 40 40 6 Options et arbres binomiaux 6.1 Valorisation et arbre à une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Valorisation et arbre à n périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Petite digression: de la marche aléatoire au brownien . . . . . . . . . . . . 41 41 42 43 notions de taux d’intérêt Valorisation et processus

d’écart type σ = 11. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche Partie A On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche. x P (X x P (X x) 380 0,035 385 0,086 390 0,182 395 0,325 x) 405 0,675 410 0,818 415 0,914 420 0,965 1 Calculer P (390 X 400 0,5 410). 2 Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. 3 Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide

Probabilités : rappels et vocabulaire |Grosso modo, la théorie des probabilités est la branche mathématique la plus féconde pour les statistiques univariées tandis que les analyses de données | |multivariées utilisent plutôt l’algèbre linéaire. Toutefois, la limite entre les deux est assez poreuse (l’analyse discriminante, par exemple, repose sur | |des règles de décision probabilistes)…

l’une appelée SUCCES (de probabilité p) est notée S, l’autre appelée ECHEC (de probabilité q = 1 − p) est notée S . Exemple : Une urne contient 10 boules : 7 bleues et 3 rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on considère comme SUCCES le fait de tirer une boule rouge. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli avec pour succès S : « Tirer une boule rouge » de probabilité p = 3/10 = 0,3 et pour échec S : « Tirer une boule bleue » de probabilité q = 7/10 = 0,7. Loi de Bernoulli

deuxième année de l’ENSAE. Elles ont pour but de présenter les bases mathématiques des méthodes de pricing et de couverture des produits dérivés. Après l’obtention de la définition mathématique de la notion d’arbitrage, nous étudions les modèles par arbre binomial à 2 puis n périodes. Nous développons ensuite quelques outils de calcul stochastiques nécessaires à l’étude des modèles en temps continu et en particulier du modèle de Black-Scholes. Ces notes de cours sont accompagnées de TDs. Nota: Ces

Correction du DST de probabilité Enoncé Exercice 1 (6 points) Une «entreprise fabrique un certain type d’article électroménager. On admet que chaque article de ce type peut présenter deux types de défauts : -un défaut de soudure, noté défaut a, -un défaut sur un composant électronique, noté défaut b. A. On prélève un article au hasard dans la production d’une journée. On note : A l’événement « l’article présente le défaut a » On note B l’événement « l’article présente le défaut b » On

≤ ∫ g , on peut montrer que sur [a,b], f ≤ g . a a Pour montrer que Probabilités. ∫ b a f ≥ 0 , on peut montrer que sur [a,b], f ≥ 0 . Comment dresser un arbre pondéré (en probabilité conditionnelle) ? Une chose simple à mettre en place, que vous ne faites pas toujours… on lit l’énoncé et on fait un recueil des données : en général on vous donne des p(A), p(B) … p A ( B ) … Comment calculer une probabilité p(E) (cas discret) ? On regarde s’il elle est donnée dans l’énoncé. On applique

-P. Benzécri 1964 : arbre de décision AID de J.P. Sonquist et J.-A. Morgan 1965 : méthode des centres mobiles de E. W. Forgy 1967 : méthode des k-means de Mac Queen 1972 : modèle linéaire généralisé de Nelder et Wedderburn 14/10/2011 © Stéphane Tufféry - Usage réservé à l’Université Rennes 1 16 Histoire               1975 : algorithmes génétiques de Holland 1975 : méthode de classement DISQUAL de Gilbert Saporta 1980 : arbre de décision CHAID de

SAV...). De ces informations clients, il devient nécessaire d'en déduire de la connaissance client, comme par exemple des comportements d'achats (le fameux RFM - Récence, Fréquence, Montant - dans la VPC ou la distribution), leur propension (ou probabilité) à acheter un produit (score d'appétence), leur vulnérabilité à la concurrence (score d'attrition), leur versatilité à changer d'enseigne (score de churn, « CHange and tURN », notamment dans la téléphonie mobile), leur réceptivité à un canal (courrier

une loi de probabilité définie sur l’ensemble E = { ? ; ?̅ } des issues de l’épreuve de Bernoulli. On associe au succès ? une probabilité ? (appelée PARAMETRE DE LA LOI DE BERNOULLI) (? compris entre 0 et 1). La probabilité de l’échec ?̅ est donc ? − ?. Issue ? ?̅ Probabilité ? ?−? EXEMPLES : Avec les deux exemples précédents : • La loi de Bernoulli de paramètre ……… est • La loi de Bernoulli de paramètre ……… est Issue ???? ???? Issue ? ?̅ Probabilité ? ? ? ? Probabilité ? ? ? ?