Base orthonormale

rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies. Exercice 1 : (5 points) On appelle f la fonction définie sur IR par f (x) ’ [pic]et C sa courbe dans le plan muni d’un repère orthonormal [pic] 1) Montrer que le point I (−1; 46) est centre de symétrie de C. 2) Calculer [pic], en déduire une factorisation de f (x). 3) En déduire les points d’intersection de C avec l’axe des abscisses. 4) Etudier le signe de f (x) suivant les

Lycée Abou Kacem Chabbi Section : 4ème Science informatique ***** Epreuve : Mathématique DEVOIR DE SYNTHESE 1 Durée : 2heures ***** Professeur : MR : Yacoubi Sofyene 08/12/2010

G' = (F − G)' (c'est la linéarité de la dérivation). Donc (F − G)' = 0 sur I. Or, les seules fonctions qui ont une dérivée nulle sont les fonctions constantes ; donc on a, sur I, : F − G = c où c est une constante. Graphiquement, dans un repère orthonormal (O, i , j ) les représentations graphiques CF et y ) pour tout x ∈ I. CG se correspondent par une translation de → vecteur c j : → j c O → i a Primitives page 1       par ƒ(x) = 3 x 2 − 2x + cos x. Trouver

l’équation (E). Donner l’interprétation graphique des solutions obtenues. 3) Résoudre à l’aide d’un tableau de signes l’inéquation [pic] > 0. Donner l’interprétation graphique des solutions. Exercice 4 (4 points) Dans un repère orthonormal (O ;[pic]) on considère les points : A(-1 ;0), B(3 ;2) , C(2 ;6) et D(0 ;5) On prendra 1 unité = 1 carreau ou 1 cm. 1) Faire une figure et la compléter au fil de l’exercice. 2) Déterminer les coordonnées des vecteurs [pic] et

Sujet Bac S – Amérique du Sud – 12 Novembre 2007 Exercice 1 (4 points) Commun à tous les candidats 1) Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant : La fonction x[pic]e x est l’unique fonction [pic] dérivable sur R telle que [pic]’=[pic] et [pic](0) = 1 Soit a un réel donné. a) Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = e a x est solution de l’équation y’ = a y. b) Soit g une solution de l’équation y’

Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2007 (spécialité) E XERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats → → → − − − Pour tout cet exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k . 1. Question de cours Établir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal → − n (a, b, c) et un point M0 x0 , y 0 , z0 . 2. On considère les points A(1 ; 2 ; −3), B(−3 ; 1 ; 4) et C(2 ; 6 ; −1). a. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. b. Vérifier

III - C Application Du produit scalaire 1) Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal Soit vec u (x;y) dans un repère orthonormal(O;vec i;vec j ) Le vecteur vec i a pour coordonnées (1;0) donc vec u .vec v = xx'+ yy' = x * 1 + 0*y = x le vecteur vec j a pour coordonnées (0;1) donc vec u. vec j = y newline Dans un repère orthonormal ( O ; vec i ; vec j ), un vecteur vec u a pour coordonnées( vec u .vec i ; vec u . vec j ) Ex : si on a vec u. vec i = 3 et

1 et B = 0 1 0 .      On pose I =                  0 0 1 0 1 0 1 0 0                   Partie I 1. 2.a 2.b 2.c 2.d 3. 3.a 3.b 3.c Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M 3 (ℝ) . Préciser une base de F et sa dimension. Exprimer A2 , B 2 , AB et BA à l’aide de I , A et B . Soit (a, b, c) ∈ ℝ 3 , (a ′, b ′, c ′) ∈ ℝ 3 , M = T (a, b, c ) et M ′ = T (a ′, b ′, c ′) . Calculer le produit MM ′ . Montrer que F est une sous-algèbre de M 3 (ℝ) . Est-elle

quatrième sommet du parallèlogramme COFH . a) Montrer que le quadrilatère COFH est un carré . b) Calculer l’affixe du point H. c) Le triangle AGH est-il équilatéral ? Exercice 2 (Spécialité) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O,[pic],[pic]) . On considère l’application f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M ’ d’affixe : z’ = [pic] iz + [pic]. 1) Montrer que f est une similitude directe dont on précisera le centre

Contre-exemple : les vecteurs DB et DC ne sont pas orthogonaux. D Théorème 1 : Expression analytique de la normeρ de la distance. et ρ Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; i ; j ) . Avec A( x A ; y A ) et B(x B ; y B ) , AB = AB = ( x B − x A ) 2 + ( y A − y B ) 2 . C A O B Exemple numérique : ρρ Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; i ; j ) . Soit A(3 ;-2), B(0 ;2) et C(-4 ;-1), montrer que le triangle ABC est isocèle, rectangle en B. ρ ρ Avec u (x ;y), u = x ² + y ² . ρ ρ Soit A et