Calcul stochastique


Tranche
l
notée
xl(k,
ξ)
(l=0,
1,
…,
L‐1)
 2. Multiplier
(fenêtrer)
chacune
des
tranches
à
l’aide
d’une
fenêtre
à
 transitions
douces
(Hanning,
Hamming,
Kaiser,…)
notée
ω(k,N)
 3. Calculer
les
L
transformées
de
Fourier
F{xl(k,
ξ,N)ω(k,N)}
de
ces
L
 tranches
fenêtrées
de
N
points
 4. Evaluer
les
L
périodogrammes
fenêtrés
associés
 5. Calculer
la
moyenne
des
L
périodogrammes
fenêtrés
 
 Fonction
pwelch()
de
MATALB
:
 [Phi_x,
f]
=
pwelch(x,
w,
nb_ovlp,
NFFT,
1,
‘twosided’)
;
 Arguments
:
 • x
:
vecteur
contenant
les
M
=
L*N
échantillons
du
signal
x(k

normale centrée réduite N (0 ; 1) 42 ,52 P(Y < 340) = P(42,52T +237 < 340) = P(42,52T < 103) = P(T < 2,42238) ≈ Π(2,42) ≈ 0,9922 Ou Π(2,42) ≈ 0,9922 et Π(2,43) ≈ 0,9925 donc P(Y < 340) ≈ 0,99226 P(Y < 340) ≈ 0,01 P(Y > 340) ≈ 1 – 0,99226 ≈ 0,0078 On calcule P(Y < 340). On pose T = c) L’entreprise a raison de limiter le stockage à 340 kg, car la probabilité d’avoir une demande supérieure à ce nombre est très faible Exercice 2 f(x) = 10 sur l’intervalle [1 ; 10] ln( 2 x + 3) A Graphiquement

TD - SERIES TEMPORELLES Professeur Georges BRESSON 1ère Année Master Sciences Economiques Mention Ingénierie Economique et Statistique et Mention Monnaie et Finance Année Universitaire 2009-2010 1 TD-1. Processus stationnaires 1. Calculer l’espérance, la variance, la covariance et l’autocorrélation des processus suivants. Conclure sur leur stationnarité et inversibilité. (a) xt = εt − εt−1 (c) xt = xt−1 + εt (d) xt = φ1 xt−1 + εt − θ1 εt−1 . 2. Soit un processus aléatoire εt distribué

de la fonction aléatoire la fonction de tqui pour toute valeur de tdonne la moyenne de la variable aléatoire obtenue à cet instant, soit mX (t)= E[X(t)] = xTX(t)(x)dx X Le symbôle E signifie espérance mathématique et suppose le calcul de la moyenne de la quantité entre crochets. De façon similaire, la variance est une fonction de tdéfinie par s2 X (t)= E [X(t) -mX (t)] [X(t) -mX(t)]* =[x-mX (t)] [x-mX(t)]* TX(t)(x) dx X où * signifie complexe conjugué

2°) Calculer la probabilité d’avoir 50 bonnes réponses parmi les 100. (donnez le détail du calcul) . P(N = 50) = ∁ ?? ∗ ?. ?? ?? ∗ ?. ?? ???−?? = ?. ????? ??? 3°) Compléter en détaillant : E(N) = 100*0.45 = 45 V(N) = 45*0.55 = 24.75 1 0,5+ 0.5 4°) Pourquoi la loi de probabilité de N sera-t-elle mal approchée par une loi de Poisson ? E(N) ≠ V(N) ce qui interdit que la loi de N soit une loi de Poisson de P1son on aurait E(X) = V(X) 5°) Calculer P(N ≤ 50) (pour ce calcul, utiliser

que se présentent au plus 150 passagers. Commentaire : La difficulté ne réside pas ici dans le calcul, mais dans la modélisation : compréhension de la situation, et mise en forme de la question posée. Quelle est la liste des paramètres en jeu ? Lesquels sont fixés ? Lesquels sont variables ? La première question est une balise pour avancer dans cette voie. Une fois effectué ce cheminement, le calcul est très vite réalisé.

Exercice 1 : 1. On a P(D) = 0,03 PD(Ā) = 0,94 et PD̅(A) = 0,92 0,0603 A On pouvait faire l’arbre suivant  0,9703 0,94 0,9203 0,0803 0,0303 A A̅ A̅ D̅ D 2. A. determiner PD(A) = 1-PD(Ā) = 1- 0,94 = 0.06 b. P(AnD) = P(D) X PD(A) = 0,03 X 0,06 = 0,0018 P(AnD̅) = P(D̅) X PD̅(A) = 0,97 X 0,92 = 0,8924 3. On a P(A) = P(AnD) + P(AnD̅) = 0.8942 4. On cherche PA(D) = P(AnD)P(A) = 0,00180,09842 = 0,002 Loi binomiale : 1. On répète 10 fois une expérience

distribuée. La note moyenne est de 70 et l'écart type est de 10. La corporation des comptables décide que seulement 25% des participants seront accrédités par cet examen. Quelle note faut-il obtenir pour être accrédité? Détaillez les étapes de vos calculs. Note: Ce que vous devez rechercher ici est la valeur de x (la note) dans la formule z = (x - moyenne)/écart type. IL vous faudra donc, après avoir identifié la cote z centrée réduite, isoler x dans cette formule. MA SOLUTION: Pour 0,25

série (comme les deux en rouge où chaque client doit visiter les deux serveurs successivement). 2- Caractéristiques d’une file d’attente : a- Processus d’arrivée des clients : L’arrivée des clients est décrite à l’aide d’un processus stochastique de comptage. Ce processus suit une loi de probabilités décrivant l’inter arrivées des clients. En général, ce processus suit une loi de poisson ʎ. b- Temps de service : Le temps de service d’un client est le temps séparant le début et

. 2.3 Limite du modèle KMV . . . . . . . . . . . . . . 3 Modèle à intensité 3.1 Modèle à intensité constante . . . 3.2 Estimation de λ par les donées du 3.3 Autres type d’intensité . . . . . . 3.3.1 Intensité déterministe . . . 3.3.2 Intensité stochastique . . . 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . marché . . . . .