Calcul stochastique

Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires AKadrani Institut National de Statistiques et Economie Appliquée (INSEA) Rabat, Avril 2013 Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires Introduction Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système: 1 Une famille (Xt

coûteux, voire impossible, de les déterminer de manière exacte. Les solutions d’un MDP pouvant bien entendu être très sensibles à ces paramètres, souvent il est délicat de fixer ses valeurs. Un processus de décision markovien (MDP) est un modèle stochastique issu de la théorie de la décision et de la théorie des probabilités. Le modèle MDP peut être vu comme une chaîne de Markov à laquelle on ajoute une composante décisionnelle. Comme les autres modèles de sa famille, il est entre autres, utilisé en

Exercice n°99 p255 1) X suit une loi binomiale de paramètre p=0,48 et n=21. X~B (214 ; 0,48) 2) On cherche combien de fois Fabrice peut espérer gagner en moyenne lors de ces 214 parties. Etant donné que la probabilité que Fabrice gagne est de 0,48 et qu’il y a 214 parties, on fait : probabilité de gain * nombre de partie D’où 0,48 * 214 = 102,7 Or étant donné que c’est des chances le nombre obtenu doit être un entier naturel, donc on arrondi au supérieur. Conclusion, Fabrice peut espérer

 Contrôle certificatif de formation Niveau : BTS (Aménagements Paysagers) Module : M41 – CCF n°1 Durée : 2h00 Matériel fourni : formulaire de mathématiques Tous les calculs doivent figurer sur la copie. La note tiendra fortement compte de la rédaction qui devra donc être particulièrement soignée. Exercice 1 : Statistiques à deux variables Le tableau suivant donne l’évolution de la population de l’Inde de 1951 à 1991. Année 1951 1961 1971 1981 1991 Rang 1 2 3 4 5 Population (en millions) 361

Lycée A. Argouges - Grenoble Probabilités ? V.A.R. continues Casio La variable aléatoire X suit la loi normale N 20, 5 . 1. Calculer, avec une précision de 10–4 les probabilités suivantes : P  X 28 ; P  X 12 ; P 12 X 28 . 2. Déterminer à 10–2 près le nombre réel x tel que P  X x =0,99 . 3. Tracer la densité de probabilité de la loi normale N 20, 5 . ? * Fonction Ncd  Lower : borne inf ,Upper : borne sup ,∈ℝ + ,∈ℝ Probabilité des événements  X  x  et  X  x  Dans

6 Introduction  Dans le domaine de l’ingénierie il est notoire d’utiliser les modèles mathématiques pour décrire les phénomènes physiques.  Nous distinguons deux classes de modèles mathématiques:  Déterministe  Stochastique ENSI 2013 Processus aléatoire 7 Modèle déterministe  Définition: un modèle est dit déterministe si on peut prévoir exactement l'évolution du système considéré dans le temps. Les systèmes déterministes sont des systèmes régis

variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres . 2. Calculer la probabilité que , dans un tel prélèvement , il y ait exactement quatre ponceuses défectueuses 3. Calculer la probabilité que , dans un tel prélèvement , il y ait au plus quatre ponceuses défectueuses . 4. Calculer la probabilité que , dans un tel prélèvement , il y ait au moins une ponceuse défectueuse . 5. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire X . Donner une interprétation de

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utiliser la Corrélation (statistiques) négative entre deux variables aléatoires pour simuler une variable aléatoire de variance plus petite. Problème : on dispose de deux échantillons X=Xi ;1≤i≤n et Y={Yi;1≤i≤m} On a EX=EY=µ et V(X-Y)>0 On veut Calculer EX de la manière la plus éfficace possible c’est-à-dire on veut reduire sa variance. Posons Z=(X+Y)2 La complexité de la simulation de Z est la même que pour X et Y De plus si VX=V(y) et si cov(X;Y)

Processus stochastiques et lemme d’Ito 1- Définitions et principaux types de processus stochastiques a- Processus stochastique On dit qu’un variable suit un processus stochastique lorsque les changements de valeur de cette variable, au cour du temps sont ,au moins en partie, aléatoires. Les deux termes aléatoire et stochastiques sont synonymes. Mais pour la variable, on utilise, de préférence, le terme aléatoire. On dit une variable aléatoire. Pour désigner le processus qui se déroule dans